Применение подобия

Научиться применять признаки подобия треугольников для решения практических задач на нахождение расстояний и высот.

Подобие лежит в основе многих измерительных инструментов и методов: от простого измерения высоты дерева до создания карт и планов местности. Понимание подобия позволяет без сложных приборов вычислять размеры объектов, до которых невозможно добраться напрямую.

• Подобные треугольники имеют равные углы и пропорциональные стороны, что позволяет переносить соотношения с одного объекта на другой.
• Для применения подобия достаточно знать один из трёх признаков: по двум углам, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, по трём пропорциональным сторонам.
• Коэффициент подобия показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше или меньше сторон другого.
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Масштаб карты или плана — это коэффициент подобия между изображением и реальным объектом.
• Метод подобия позволяет измерять высоты и расстояния, используя тени, зеркала или специальные приборы (например, эклиметр).
• При решении задач на подобие важно правильно определить соответственные стороны и углы.

Подобные треугольники

Треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

Коэффициент подобия

Число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Показывает, во сколько раз один треугольник больше другого.

Масштаб

Отношение длины отрезка на карте (плане) к длине соответствующего отрезка на местности. Например, масштаб 1:10000 означает, что 1 см на карте соответствует 10000 см (100 м) на местности.

Сходственные стороны

Стороны подобных треугольников, лежащие против равных углов. Они пропорциональны друг другу.

Признак подобия по двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия по двум сторонам и углу

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Признак подобия по трём сторонам

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S1/S2 = k².
• Если коэффициент подобия равен k, то периметры относятся как k, а площади — как k².
• Для измерения высоты предмета с помощью тени: отношение высоты предмета к длине его тени равно отношению высоты известного объекта (например, шеста) к длине его тени.
• Масштаб карты — это коэффициент подобия между картой и местностью. Например, масштаб 1:50000 означает, что 1 см на карте равен 500 м на местности.
• В подобных треугольниках биссектрисы, медианы и высоты, проведённые к сходственным сторонам, относятся как коэффициент подобия.
• Если два треугольника подобны, то отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

1. Пример 1расчёт

   Измерение высоты дерева

   Решение

   • если шест высотой 2 м отбрасывает тень 3 м, а тень дерева — 15 м, то высота дерева равна (2/3)*15 = 10 м
2. Пример 2случай

   Определение ширины реки

   Пояснение

   • на одном берегу ставят два колышка (A и B), на другом — ориентир (C)
   • Измеряют расстояния на берегу и углы, строят подобные треугольники и вычисляют ширину
3. Пример 3расчёт
   • Карта с масштабом 1:100000: если расстояние между городами на карте 5 см
   • то реальное расстояние равно 5 см * 100000 = 500000 см = 5 км
4. Пример 4случай
   • Фотография размером 10×15 см увеличена до 20×30 см: коэффициент подобия равен 2, значит, все размеры на фото увеличились в 2 раза, а площадь — в 4 раза

• Фалес Милетский (VI век до н.э.) измерил высоту египетской пирамиды, используя подобие треугольников: он заметил, что в момент, когда его тень равна его росту, тень пирамиды также равна её высоте.
• Подобие используется в фотографии: при увеличении снимка все размеры на изображении увеличиваются в одинаковое число раз, сохраняя пропорции.
• В архитектуре и дизайне подобие применяется для создания макетов зданий: макет и реальное здание подобны, что позволяет рассчитать пропорции.

• Признаки подобия треугольников
• Пропорциональные отрезки
• Площади фигур
• Тригонометрические функции острого угла (в дальнейшем)