Синус, косинус, тангенс острого угла

Научиться понимать, что такое синус, косинус и тангенс острого угла, и как они связаны со сторонами прямоугольного треугольника.

Эти понятия широко используются в науке и технике: от измерения высот и расстояний до расчёта конструкций, в физике, астрономии, навигации и даже в компьютерной графике. Понимание тригонометрии открывает путь к изучению более сложных разделов математики.

• В прямоугольном треугольнике стороны имеют специальные названия: гипотенуза (напротив прямого угла) и два катета (образующие прямой угол).
• Для острого угла в прямоугольном треугольнике можно рассмотреть два катета: один противолежит углу, другой прилежит к нему.
• Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
• Тангенс угла также равен отношению синуса этого угла к его косинусу.
• Для любого острого угла выполняется основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
• Значения синуса, косинуса и тангенса зависят только от величины угла, а не от размеров треугольника.

Синус острого угла

Отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике.

Косинус острого угла

Отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике.

Тангенс острого угла

Отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета в прямоугольном треугольнике.

Противолежащий катет

Катет, который находится напротив данного острого угла.

Прилежащий катет

Катет, который образует данный острый угол вместе с гипотенузой.

Гипотенуза

Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

• Синус угла α: sin α = (противолежащий катет) / (гипотенуза).
• Косинус угла α: cos α = (прилежащий катет) / (гипотенуза).
• Тангенс угла α: tg α = (противолежащий катет) / (прилежащий катет).
• Тангенс также можно вычислить через синус и косинус: tg α = sin α / cos α.
• Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
• Для угла 30°: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3.
• Для угла 45°: sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tg 45° = 1.
• Для угла 60°: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3.

1. Пример 1расчёт
   • Если в прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4, а гипотенуза 5, то для угла, противолежащего катету 3
   • sin = 3/5
   • cos = 4/5
   • tg = 3/4
2. Пример 2случай
   • Чтобы измерить высоту дерева, можно отойти от него на известное расстояние (например, 10 м) и измерить угол между землёй и линией взгляда на верхушку
   • Тогда высота = расстояние × tg угла
3. Пример 3расчёт
   • В архитектуре при строительстве лестницы важно знать угол наклона: если подъём (противолежащий катет) равен 2 м, а проекция (прилежащий катет) 4 м
   • то tg угла = 2/4 = 0.5, что соответствует углу около 26.6°

• Слово «синус» происходит от латинского «sinus», что означает «изгиб», «пазуха». Это связано с историей перевода арабских математических трудов.
• Тригонометрия (от греч. «тригонон» — треугольник и «метрео» — измеряю) зародилась как наука об измерении треугольников, но сейчас её методы пронизывают всю математику и физику.
• С помощью тригонометрических функций можно измерять высоту горы или здания, не поднимаясь на них, — достаточно измерить угол и расстояние.

• Теорема Пифагора
• Подобные треугольники
• Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
• Решение прямоугольных треугольников