Решение прямоугольных треугольников

Научиться находить все стороны и углы прямоугольного треугольника, зная лишь два его элемента (две стороны или сторону и острый угол).

Это основа для геодезии, астрономии, строительства и навигации: с помощью тригонометрии можно измерить высоту горы, не взбираясь на неё, или ширину реки, не переплывая её. В жизни это умение позволяет рассчитывать уклоны, высоты и расстояния.

• В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна 90°.
• Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Зная любые две стороны прямоугольного треугольника, третью можно найти по теореме Пифагора.
• Зная одну сторону и один острый угол, можно найти все остальные стороны через синус, косинус или тангенс.
• Для нахождения угла по известному отношению сторон используют обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс).

Решение треугольника

Нахождение всех его неизвестных сторон и углов по известным элементам.

Синус острого угла (sin α)

Число, равное отношению длины катета, лежащего напротив этого угла, к длине гипотенузы.

Косинус острого угла (cos α)

Число, равное отношению длины катета, прилежащего к этому углу, к длине гипотенузы.

Тангенс острого угла (tg α)

Число, равное отношению длины катета, лежащего напротив этого угла, к длине катета, прилежащего к этому углу.

Основное тригонометрическое тождество

Формула, связывающая синус и косинус одного и того же угла: sin²α + cos²α = 1.

Арксинус (arcsin)

Угол, синус которого равен данному числу. Используется для нахождения угла по известному отношению сторон.

• Теорема Пифагора: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты.
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника: α + β = 90°.
• sin α = противолежащий катет / гипотенуза.
• cos α = прилежащий катет / гипотенуза.
• tg α = противолежащий катет / прилежащий катет = sin α / cos α.
• Для углов 30°, 45°, 60° существуют табличные значения синуса, косинуса и тангенса, которые нужно знать наизусть.
• Если известен один острый угол, второй находится как 90° минус известный угол.

1. Пример 1случай
   • Чтобы измерить ширину реки, можно встать на берегу, заметить дерево на противоположном берегу и отойти вдоль берега на 50 метров
   • Если угол между направлением на дерево и линией берега составляет 60°, то ширина реки равна 50 · tg 60° ≈ 86,6 метра
2. Пример 2расчёт
   • Лестница длиной 5 метров прислонена к стене так, что её нижний конец находится на расстоянии 3 метров от стены. Высота, на которую достаёт лестница
   • вычисляется по теореме Пифагора: √(5² − 3²) = 4 метра
3. Пример 3расчёт
   • При строительстве крыши с уклоном 30° и длиной стропила 6 метров
   • высота подъёма крыши (вертикальный катет) равна 6 · sin 30° = 3 метра
4. Пример 4случай
   • Если самолёт взлетает под углом 20° к горизонту и пролетает 10 км по прямой, то его высота над землёй составляет 10 · sin 20° ≈ 3,42 км

• Тригонометрия зародилась как инструмент для астрономических расчётов: древнегреческий астроном Гиппарх составил первую таблицу хорд, чтобы предсказывать положения звёзд.
• С помощью прямоугольного треугольника и простого угломера можно измерить высоту египетской пирамиды, не поднимаясь на неё: достаточно измерить угол до её вершины и расстояние до основания.
• Термин «синус» происходит от латинского «sinus» (изгиб, пазуха), что является искажённым переводом арабского слова «джайб» (карман, впадина).

• Теорема Пифагора (урок 16)
• Синус, косинус, тангенс острого угла (урок 17)
• Соотношения между сторонами и углами треугольника (урок 19)
• Подобные треугольники (урок 12)