Векторы: понятие и равенство

Научиться понимать, что такое вектор, и определять равенство векторов.

Векторы используются в физике для описания сил, скоростей и перемещений, а в геометрии позволяют elegantly доказывать теоремы и решать задачи, где важно направление. Понимание векторов открывает путь к изучению координат и векторного метода в старших классах.

• Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
• Длина вектора — это длина отрезка, который его задаёт; она всегда неотрицательна.
• Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают; его длина равна нулю, а направление не определено.
• Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
• Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (смотрят в одну сторону) или противоположно направленными (смотрят в разные стороны).
• Равные векторы — это сонаправленные векторы с равными длинами.
• Равные векторы можно откладывать от любой точки плоскости: отложенный от другой точки вектор будет равен исходному.

Вектор

Направленный отрезок, у которого есть начало и конец. Обозначается как \overrightarrow{AB} или \vec{a}.

Длина (модуль) вектора

Длина отрезка, который задаёт вектор. Обозначается |\overrightarrow{AB}| или |\vec{a}|. Всегда неотрицательное число.

Нулевой вектор

Вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено. Обозначается \vec{0}.

Коллинеарные векторы

Векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными или противоположно направленными.

Сонаправленные векторы

Коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону.

Противоположно направленные векторы

Коллинеарные векторы, которые направлены в противоположные стороны.

Равные векторы

Векторы, которые сонаправлены и имеют равные длины.

• Вектор обозначается \overrightarrow{AB}, где A — начало, B — конец, или одной буквой \vec{a}.
• Длина вектора \overrightarrow{AB} равна расстоянию между точками A и B: |\overrightarrow{AB}| = AB.
• Нулевой вектор \vec{0} имеет длину 0; его направление не определено.
• Если векторы \vec{a} и \vec{b} равны, то они сонаправлены и |\vec{a}| = |\vec{b}|.
• От любой точки плоскости можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
• Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

1. Пример 1случай
   • Если вы идёте из дома в школу, ваш путь можно изобразить вектором \overrightarrow{ДШ}, где начало — дом, конец — школа
   • Длина этого вектора — расстояние от дома до школы, а направление — от дома к школе
2. Пример 2случай
   • Ветер дует с севера на юг со скоростью 5 м/с
   • Этот ветер можно представить как вектор: длина — 5 м/с, направление — с севера на юг
3. Пример 3случай
   • На чертеже два параллельных отрезка одинаковой длины, направленные вверх, изображают равные векторы, даже если они находятся в разных местах плоскости
4. Пример 4случай

   Нулевой вектор

   Пояснение

   • это, например, перемещение, когда вы вышли из точки и вернулись в неё же: начало и конец совпадают

• В физике вектор силы показывает не только величину, но и направление, поэтому два вектора силы равны только если они одинаково направлены и имеют одинаковую величину.
• Понятие вектора ввёл в математику в XIX веке ирландский математик Уильям Гамильтон, который также придумал кватернионы.
• Векторы используются в компьютерной графике для описания движения объектов и в навигации для расчёта перемещений.

• Сложение и вычитание векторов
• Умножение вектора на число
• Координаты вектора
• Скалярное произведение векторов