Геометрия · 9 класс · Геометрия ФГОС · урок 2 · только теория
Сложение и вычитание векторов
Тема знакомит с действиями над векторами: сложением и вычитанием. Мы научимся складывать и вычитать векторы геометрически (по правилам треугольника и параллелограмма) и поймём, как эти операции применяются в физике и технике.
Чему учимся понимать
Научиться понимать и выполнять сложение и вычитание векторов, используя геометрические правила.
Зачем это нужно
Векторы описывают величины, имеющие направление (скорость, сила, перемещение). Сложение векторов позволяет находить результат действия нескольких сил или скоростей, что важно в физике, навигации, строительстве и компьютерной графике.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Сложение векторов — это операция, результатом которой является новый вектор, называемый суммой.
- Сумма векторов не зависит от порядка слагаемых (переместительное свойство).
- Правило треугольника: чтобы сложить векторы, нужно начало второго вектора совместить с концом первого; сумма — вектор от начала первого к концу второго.
- Правило параллелограмма: если векторы отложены от одной точки, то их сумма — диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.
- Вычитание векторов — это сложение с вектором, противоположным вычитаемому: a - b = a + (-b).
- Противоположный вектор имеет ту же длину, но противоположное направление.
- Сложение коллинеарных векторов сводится к сложению их длин с учётом направления.
- Нулевой вектор при сложении не меняет другой вектор: a + 0 = a.
Определения
- Вектор
- Отрезок, у которого указано начало и конец; характеризуется длиной и направлением.
- Сумма векторов
- Вектор, который получается в результате операции сложения двух или более векторов.
- Правило треугольника
- Способ сложения векторов: начало второго вектора переносится в конец первого, сумма — вектор от начала первого к концу второго.
- Правило параллелограмма
- Способ сложения векторов, отложенных от одной точки: сумма — диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.
- Противоположный вектор
- Вектор, имеющий ту же длину, но противоположное направление; обозначается -a.
- Вычитание векторов
- Операция, обратная сложению: a - b = a + (-b).
Ключевые факты и правила
- Для любых векторов a и b выполняется: a + b = b + a (переместительное свойство).
- Сочетательное свойство: (a + b) + c = a + (b + c).
- Сумма вектора и противоположного ему равна нулевому вектору: a + (-a) = 0.
- Чтобы вычесть векторы, можно сложить уменьшаемый вектор с вектором, противоположным вычитаемому.
- Если векторы коллинеарны и направлены в одну сторону, длина суммы равна сумме длин; если в противоположные — разности длин.
- Правило многоугольника: сумма нескольких векторов — вектор, замыкающий ломаную, построенную из этих векторов.
Теория
Вспомни, что вектор — это направленный отрезок; у него есть начало, конец, длина и направление.
Для сложения по правилу треугольника: построй первый вектор, затем от его конца отложи второй вектор; соедини начало первого с концом второго — это сумма.
Для сложения по правилу параллелограмма: отложи оба вектора от одной точки, дострой до параллелограмма; диагональ из этой точки — сумма.
Для вычитания: замени вычитание сложением с противоположным вектором, затем используй правило треугольника или параллелограмма.
Проверь результат: сумма не зависит от порядка, а вычитание можно проверить сложением разности с вычитаемым.
Примеры
- Пример 1случай
- Если лодка плывёт по течению реки, её скорость относительно берега равна сумме скорости лодки в стоячей воде и скорости течения
- Пример 2случай
Два человека тянут груз в разные стороны
Пояснение
- результирующая сила — векторная сумма их усилий
- Пример 3случай
При перелёте самолёта учитывается вектор ветра
Пояснение
- фактический путь — сумма вектора скорости самолёта и вектора ветра
- Пример 4случай
В игре персонаж движется
Пояснение
- сначала на север, потом на восток — его перемещение равно сумме этих двух векторов
Интересно знать
- Правило параллелограмма использовал ещё Исаак Ньютон для сложения сил в механике.
- Векторное сложение применяется в компьютерной графике для перемещения объектов: каждая точка сдвигается на вектор перемещения.
- В навигации сумма векторов скорости и ветра определяет фактическое направление движения самолёта или корабля.
Связанные темы
- Понятие вектора
- Умножение вектора на число
- Координаты вектора
- Скалярное произведение векторов