Геометрия · 9 класс · Геометрия ФГОС · урок 3 · только теория
Умножение вектора на число
Тема раскрывает, как вектор можно растягивать, сжимать или разворачивать, умножая его на число. Это одно из базовых действий с векторами, которое лежит в основе сложения сил, скоростей и многих геометрических построений.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, как умножение вектора на число меняет его длину и направление, и применять это знание для упрощения выражений с векторами.
Зачем это нужно
Умножение вектора на число используется в физике для описания движения (скорость, ускорение), в инженерии для расчёта нагрузок, а в геометрии — для доказательства параллельности прямых и построения точек на отрезках.
Опорные понятия
Главные тезисы
- При умножении вектора на положительное число его направление сохраняется, а длина изменяется пропорционально модулю числа.
- При умножении вектора на отрицательное число его направление меняется на противоположное.
- Умножение вектора на ноль даёт нулевой вектор, длина которого равна нулю.
- Операция умножения вектора на число подчиняется распределительному закону относительно сложения векторов.
- Умножение вектора на число позволяет выразить любой коллинеарный вектор через другой, если их длины связаны коэффициентом.
Определения
- Умножение вектора на число
- Действие, при котором каждый элемент вектора (его координаты) умножается на это число, в результате чего получается новый вектор.
- Числовой множитель
- Число, на которое умножается вектор; может быть положительным, отрицательным или нулём.
- Длина вектора
- Расстояние от начала до конца вектора; обозначается |a|.
- Коллинеарные векторы
- Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; они могут быть сонаправлены или противоположно направлены.
- Противоположный вектор
- Вектор, имеющий ту же длину, но противоположное направление; обозначается -a.
Ключевые факты и правила
- Если k > 0, то вектор ka сонаправлен с вектором a, а его длина равна |k|·|a|.
- Если k < 0, то вектор ka противоположно направлен вектору a, а его длина равна |k|·|a|.
- Если k = 0, то ka = 0 (нулевой вектор).
- Для любых чисел k и m и любых векторов a и b справедливо: (k + m)a = ka + ma и k(a + b) = ka + kb.
- В координатной форме: если a = (x; y), то ka = (kx; ky).
Теория
Вспомни, что вектор имеет длину и направление.
Умножь длину вектора на модуль числа — это новая длина.
Определи направление: если число положительное, направление сохраняется; если отрицательное — меняется на противоположное.
Если число равно нулю, получается нулевой вектор.
Запиши результат в координатной форме, умножив каждую координату на число.
Примеры
- Пример 1случай
- Если вектор скорости автомобиля равен 60 км/ч на север, то умножение на 2 даст вектор скорости 120 км/ч на север, а умножение на -1 даст вектор скорости 60 км/ч на юг
- Пример 2расчёт
В геометрии
Решение
- если точка M — середина отрезка AB, то вектор AM = 0.5 · AB, а вектор MB = 0.5 · AB, что показывает, как умножение на 0.5 уменьшает длину вектора вдвое
- Пример 3случай
При построении параллелограмма
Пояснение
- если вектор a и b — стороны, то диагональ, соединяющая начало a и конец b, равна a + b, а умножение на -1 даёт противоположную диагональ
Интересно знать
- Умножение вектора на число — это операция, которая в физике позволяет описать, как сила, действующая на тело, увеличивается или уменьшается при изменении масштаба.
- В компьютерной графике умножение вектора на число используется для масштабирования объектов: увеличения или уменьшения их размера без изменения формы.
- Понятие умножения вектора на число лежит в основе работы GPS: спутники передают сигналы, которые обрабатываются как векторы, и умножение на коэффициенты помогает вычислить точное положение.
Связанные темы
- Сложение и вычитание векторов
- Координаты вектора
- Скалярное произведение векторов