Координаты вектора

Научиться определять координаты вектора по его началу и концу, а также находить координаты вектора, зная его разложение по координатным осям.

Координаты вектора — это язык, на котором «говорят» компьютеры, физики и инженеры. Они позволяют описывать движение, силы, скорости и положения объектов в пространстве с помощью чисел, что делает возможным расчёты и моделирование в технике, анимации и навигации.

• Координаты вектора — это два числа, которые показывают, на сколько единиц нужно сдвинуться вдоль осей X и Y, чтобы из начала вектора попасть в его конец.
• Координаты вектора не зависят от того, где он расположен на плоскости: если перенести вектор параллельно, его координаты не изменятся.
• Если вектор задан координатами начала и конца, его координаты вычисляются как разность координат конца и начала.
• Любой вектор можно разложить на сумму двух векторов, направленных вдоль осей координат, с коэффициентами, равными его координатам.
• Равные векторы имеют равные координаты, и наоборот: если координаты равны, то векторы равны.
• Координаты вектора тесно связаны с координатами точки: вектор, проведённый из начала координат в точку, имеет координаты, равные координатам этой точки.

Вектор

Направленный отрезок, у которого есть начало и конец. Обозначается буквой со стрелкой, например, AB или a.

Координаты вектора

Пара чисел (x; y), которые показывают, на сколько единиц нужно переместиться вдоль оси X и вдоль оси Y, чтобы из начала вектора попасть в его конец. Записываются как a(x; y).

Единичные векторы (орты)

Векторы длиной 1, направленные вдоль положительных направлений осей координат. Обозначаются i (вдоль оси X) и j (вдоль оси Y).

Разложение вектора по координатным осям

Представление вектора a в виде суммы a = x*i + y*j, где x и y — координаты вектора, а i и j — единичные векторы осей.

Равные векторы

Векторы, которые имеют одинаковую длину и одинаковое направление. У них равны соответствующие координаты.

• Если вектор AB имеет начало A(x1; y1) и конец B(x2; y2), то его координаты вычисляются по формуле: AB = (x2 - x1; y2 - y1).
• Координаты вектора, отложенного от начала координат, равны координатам его конечной точки.
• Длина вектора a(x; y) вычисляется по формуле: |a| = √(x² + y²).
• Если векторы равны, то их координаты равны, и наоборот.
• При сложении векторов их координаты складываются: a + b = (x1 + x2; y1 + y2).
• При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число: k*a = (kx; ky).

1. Пример 1расчёт

   Если муравей ползёт из точки A(1; 2) в точку B(4; 6), то его перемещение

   Решение

   • вектор AB с координатами (4-1; 6-2) = (3; 4). Это значит, что муравей сдвинулся на 3 единицы вправо и на 4 единицы вверх
2. Пример 2случай
   • Вектор скорости ветра на карте погоды может быть задан координатами (5
   • -2), что означает: ветер дует на 5 м/с на восток и на 2 м/с на юг
3. Пример 3случай
   • В игре, чтобы переместить персонажа из точки (2
   • 3) в точку (5
   • 7), программист использует вектор перемещения (3
   • 4), который показывает, на сколько нужно изменить координаты персонажа

• Идея координат была предложена Рене Декартом в XVII веке, когда он, по легенде, наблюдал за мухой на потолке и придумал описывать её положение двумя числами.
• В компьютерной графике координаты векторов используются для перемещения персонажей и объектов: каждый кадр — это вычисление новых координат.
• Системы GPS, которые мы используем в телефонах, работают на основе координат: они определяют ваше местоположение как точку с координатами на поверхности Земли.

• Сложение и вычитание векторов
• Умножение вектора на число
• Длина вектора
• Координаты середины отрезка
• Скалярное произведение векторов