Геометрия · 9 класс · Геометрия ФГОС · урок 7 · только теория
Уравнение прямой и окружности
Тема связывает алгебру и геометрию: мы учимся описывать прямые и окружности уравнениями, чтобы решать задачи аналитически. Это основа для изучения взаимного расположения фигур и их свойств без чертежа.
Чему учимся понимать
Научиться составлять уравнения прямой и окружности по заданным условиям и понимать, как по уравнению определить вид и положение фигуры.
Зачем это нужно
Уравнения фигур позволяют точно описывать их на плоскости, решать задачи на пересечение, расстояние и построение. Это применяется в навигации, компьютерной графике, архитектуре и физике.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Уравнение линии — это равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек этой линии и не удовлетворяют координаты других точек.
- Окружность задается уравнением (x – a)² + (y – b)² = R², где (a, b) — координаты центра, R — радиус.
- Прямая на плоскости может быть задана уравнением y = kx + b, где k — угловой коэффициент (тангенс угла наклона), b — ордината точки пересечения с осью Oy.
- Любая прямая также может быть записана в общем виде: Ax + By + C = 0, где A и B не равны нулю одновременно.
- Если точка лежит на линии, ее координаты обращают уравнение в верное равенство.
- Уравнение окружности с центром в начале координат упрощается до x² + y² = R².
Определения
- Уравнение линии
- Равенство с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты всех точек линии и не удовлетворяют координаты других точек плоскости.
- Окружность
- Множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (центра).
- Радиус окружности
- Расстояние от центра окружности до любой ее точки.
- Угловой коэффициент прямой
- Число k в уравнении y = kx + b, равное тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox.
- Свободный член
- Число b в уравнении y = kx + b, показывающее, в какой точке прямая пересекает ось Oy.
Ключевые факты и правила
- Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R: (x – a)² + (y – b)² = R².
- Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение имеет вид x² + y² = R².
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b. Если k > 0, прямая возрастает; если k < 0 — убывает; если k = 0 — прямая параллельна оси Ox.
- Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0. Если B ≠ 0, его можно преобразовать к виду y = kx + b.
- Чтобы проверить, лежит ли точка на линии, подставьте ее координаты в уравнение: если получается верное равенство — точка принадлежит линии.
- Для составления уравнения окружности нужно знать координаты центра и радиус (или диаметр).
Теория
Поймите, что уравнение линии — это правило, связывающее координаты точек.
Для окружности: запишите определение (равноудаленность от центра) и выразите его через формулу расстояния между точками.
Для прямой: используйте угловой коэффициент и точку пересечения с осью Oy, либо выведите уравнение по двум точкам.
Научитесь преобразовывать общее уравнение прямой в вид y = kx + b и наоборот.
Проверяйте принадлежность точки линии подстановкой координат в уравнение.
Примеры
- Пример 1расчёт
- Окружность с центром в точке (2
- –3) и радиусом 5 задается уравнением (x – 2)² + (y + 3)² = 25
- Пример 2случай
- Прямая y = 2x + 1 проходит через точку (0
- 1) и наклонена под углом, тангенс которого равен 2 (примерно 63°)
- Пример 3случай
Если точка A(3; 4) лежит на окружности x² + y² = 25, то 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Пояснение
- равенство верно
Интересно знать
- Уравнение окружности используется в GPS-навигации: пересечение окружностей от спутников определяет ваше местоположение.
- Термин «угловой коэффициент» произошел от того, что он показывает, насколько круто прямая «поднимается» или «опускается» при движении вдоль оси x.
Связанные темы
- Метод координат
- Уравнение фигур
- Взаимное расположение прямой и окружности