Движения плоскости: осевая и центральная симметрия

Научиться понимать, что такое осевая и центральная симметрия, как они устроены и почему они являются движениями.

Симметрия повсюду: в природе (крылья бабочки, снежинки), в архитектуре (здания, мосты), в искусстве и технике. Понимание симметрии позволяет анализировать формы, решать задачи на построение и доказательство, а также лежит в основе многих научных и инженерных решений.

• Движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками.
• Осевая симметрия — это движение, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную относительно заданной прямой (оси).
• Центральная симметрия — это движение, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную относительно заданной точки (центра).
• Осевая и центральная симметрии сохраняют расстояния, а значит, являются движениями.
• При осевой симметрии точки, лежащие на оси, остаются неподвижными.
• При центральной симметрии неподвижной является только одна точка — центр симметрии.
• Любое движение переводит фигуру в равную ей фигуру, поэтому симметричные фигуры равны.
• Композиция двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельным переносом, а с пересекающимися — поворотом.

Движение плоскости

Отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками.

Осевая симметрия

Преобразование, при котором каждая точка A переходит в точку A' так, что ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку AA'.

Центральная симметрия

Преобразование, при котором каждая точка A переходит в точку A' так, что центр симметрии O является серединой отрезка AA'.

Ось симметрии

Прямая, относительно которой выполняется осевая симметрия.

Центр симметрии

Точка, относительно которой выполняется центральная симметрия.

Симметричные фигуры

Фигуры, которые переходят друг в друга при некотором движении (например, осевой или центральной симметрии).

• Осевая симметрия является движением, так как сохраняет расстояния между точками.
• Центральная симметрия является движением, так как сохраняет расстояния между точками.
• При осевой симметрии прямая, параллельная оси, переходит в прямую, параллельную оси; прямая, перпендикулярная оси, переходит в себя.
• При центральной симметрии прямая, проходящая через центр, переходит в себя; прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную прямую.
• Осевая симметрия меняет ориентацию фигуры (например, порядок обхода вершин треугольника становится противоположным), а центральная симметрия сохраняет ориентацию.
• Фигура может иметь несколько осей симметрии (например, квадрат — 4 оси) или несколько центров симметрии (например, параллелограмм — 1 центр).

1. Пример 1случай

   Отражение в зеркале — пример осевой симметрии

   Пояснение

   • зеркало является осью, а изображение предмета симметрично оригиналу
2. Пример 2случай

   Колесо обозрения

   Пояснение

   • его конструкция часто обладает центральной симметрией относительно оси вращения
3. Пример 3случай

   Бабочка

   Пояснение

   • если сложить её крылья вдоль оси тела, они совпадут — это осевая симметрия
4. Пример 4случай

   Квадрат имеет 4 оси симметрии

   Пояснение

   • две диагонали и две средние линии
5. Пример 5случай

   Параллелограмм (не прямоугольник и не ромб) имеет центр симметрии

   Пояснение

   • точку пересечения диагоналей

• Снежинки обладают осевой симметрией шестого порядка, что связано с кристаллической структурой льда.
• В архитектуре многих древних храмов и дворцов использована осевая симметрия для создания гармонии и равновесия.
• Центральная симметрия встречается в природе, например, у многих цветов (ромашка) и морских звезд.

• Параллельный перенос
• Поворот
• Равенство фигур
• Признаки равенства треугольников