Геометрия · 9 класс · Геометрия ФГОС · урок 10 · только теория
Поворот и параллельный перенос
Тема знакомит с двумя важнейшими видами движений плоскости — поворотом вокруг точки и параллельным переносом. Мы научимся понимать, как эти преобразования меняют положение фигур, но сохраняют их размеры и форму, и увидим, где они встречаются в реальном мире.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, что такое поворот и параллельный перенос, как они задаются и почему они являются движениями (сохраняют расстояния).
Зачем это нужно
Поворот и параллельный перенос — это не просто абстрактные геометрические операции. Они лежат в основе работы механизмов (например, поршней в двигателе), создания орнаментов и узоров, компьютерной графики, анимации и даже описания движения планет. Понимание этих преобразований помогает видеть симметрию и закономерности в окружающем мире.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Поворот и параллельный перенос — это движения, то есть преобразования плоскости, сохраняющие расстояния между точками.
- Поворот задается центром, углом и направлением (по часовой или против часовой стрелки).
- Параллельный перенос задается вектором, который показывает направление и расстояние смещения каждой точки.
- При повороте все точки фигуры движутся по окружностям с центром в точке поворота.
- При параллельном переносе все точки фигуры смещаются на один и тот же вектор, поэтому фигура не вращается и не искажается.
- Любое движение переводит фигуру в равную ей фигуру, сохраняя длины отрезков и величины углов.
- Поворот и параллельный перенос являются частными случаями более общего понятия — движения плоскости.
Определения
- Движение плоскости
- Преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Другими словами, если две точки были на расстоянии 5 см, то и после преобразования они будут на расстоянии 5 см.
- Поворот
- Преобразование, при котором каждая точка плоскости поворачивается вокруг фиксированной точки (центра поворота) на один и тот же угол в одном и том же направлении.
- Центр поворота
- Неподвижная точка, вокруг которой происходит поворот. Она остается на месте.
- Угол поворота
- Величина угла, на который поворачивается каждая точка фигуры. Может быть положительным (против часовой стрелки) или отрицательным (по часовой стрелке).
- Параллельный перенос
- Преобразование, при котором каждая точка плоскости смещается на один и тот же вектор. Это значит, что все точки двигаются в одном направлении на одинаковое расстояние.
- Вектор переноса
- Вектор, который задает направление и расстояние смещения при параллельном переносе.
Ключевые факты и правила
- Поворот на 180° относительно точки — это центральная симметрия относительно этой точки.
- Параллельный перенос сохраняет не только расстояния, но и направления: отрезки переходят в параллельные им отрезки.
- Поворот сохраняет расстояния и углы, но меняет направления отрезков (кроме случая поворота на 360°).
- При параллельном переносе фигура не вращается и не переворачивается, она просто «скользит» по плоскости.
- Поворот на угол 360° (или 0°) оставляет все точки на месте — это тождественное преобразование.
- Композиция двух параллельных переносов — это снова параллельный перенос на сумму векторов.
- Композиция двух поворотов с общим центром — это поворот на сумму углов.
Теория
Понять, что такое движение: преобразование, сохраняющее расстояния. Это ключевое свойство, из которого следуют все остальные.
Разобрать поворот: задается центр, угол и направление. Представить, как каждая точка описывает дугу окружности.
Разобрать параллельный перенос: задается вектор. Представить, что вся плоскость «сдвигается» на этот вектор.
Убедиться, что оба преобразования сохраняют расстояния: например, измерить расстояние между двумя точками до и после преобразования (мысленно).
Изучить свойства: что происходит с отрезками, углами, прямыми при каждом преобразовании.
Связать с другими движениями: осевая и центральная симметрия — тоже движения, и поворот на 180° — это центральная симметрия.
Примеры
- Пример 1случай
- Если ты катаешься на карусели, то каждая точка карусели (и ты сам) совершает поворот вокруг центра карусели на один и тот же угол
- Пример 2случай
- Когда ты двигаешь ползунок на экране смартфона, это пример параллельного переноса: весь интерфейс смещается на один и тот же вектор
- Пример 3случай
Отражение в зеркале
Пояснение
- это не поворот и не перенос, а осевая симметрия, но если посмотреть на узор обоев, то часто он создается повторяющимися переносами одного и того же элемента
- Пример 4случай
Шестеренки в механизме часов вращаются вокруг своих осей
Пояснение
- это повороты, а ремень, передающий движение, совершает параллельный перенос (если он движется прямолинейно)
Интересно знать
- Параллельный перенос используется в компьютерной графике для перемещения объектов на экране: каждый пиксель сдвигается на заданный вектор.
- Поворот на 90° можно увидеть в работе ветряных мельниц или турбин: лопасти вращаются вокруг центра, сохраняя свою форму.
- В природе повороты встречаются в расположении лепестков цветов (например, подсолнуха) — они повернуты друг относительно друга на определенный угол, что создает красивый узор.
Связанные темы
- Осевая и центральная симметрия
- Понятие вектора
- Равенство фигур
- Признаки равенства треугольников