Правильные многоугольники

Научиться понимать свойства правильных многоугольников и применять формулы для вычисления их элементов.

Правильные многоугольники встречаются в архитектуре (купола, окна), дизайне (паркеты, орнаменты), технике (гайки, шестерни) и в природе (пчелиные соты, снежинки). Знание их свойств помогает решать практические задачи на вычисление площадей и углов.

• Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
• Сумма внутренних углов любого n-угольника равна 180°(n-2).
• Каждый внутренний угол правильного n-угольника равен 180°(n-2)/n.
• Центральный угол правильного n-угольника равен 360°/n.
• Внешний угол правильного n-угольника равен 360°/n и равен центральному углу.
• Правильный n-угольник можно вписать в окружность и описать около окружности; центры этих окружностей совпадают.
• Радиус вписанной окружности (апофема) связан с радиусом описанной окружности через тригонометрические функции: r = R·cos(180°/n).
• Площадь правильного n-угольника равна половине произведения периметра на апофему: S = ½·P·r.

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Например, равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник.

Центральный угол

Угол, образованный двумя радиусами, проведёнными к соседним вершинам правильного многоугольника. Он равен 360°/n.

Апофема

Радиус вписанной окружности правильного многоугольника; это перпендикуляр из центра к любой стороне.

Радиус описанной окружности

Расстояние от центра правильного многоугольника до любой его вершины.

Внешний угол

Угол, смежный с внутренним углом многоугольника. Для правильного n-угольника он равен 360°/n.

• Сумма внутренних углов n-угольника: 180°(n-2). Для правильного n-угольника каждый угол равен 180°(n-2)/n.
• Центральный угол правильного n-угольника: 360°/n. Например, для квадрата — 90°, для шестиугольника — 60°.
• Формула площади: S = ½·P·r, где P — периметр, r — апофема.
• Связь радиусов: r = R·cos(180°/n), где R — радиус описанной окружности.
• Правильный n-угольник имеет n осей симметрии (для чётного n — ещё и центр симметрии).
• Любой правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, причём центры этих окружностей совпадают.

1. Пример 1случай

   Квадрат — правильный четырёхугольник

   Пояснение

   • все стороны равны, все углы по 90°
   • Его центральный угол равен 90°, а апофема равна половине стороны
2. Пример 2случай

   Правильный шестиугольник

   Пояснение

   • каждый внутренний угол равен 120°, центральный угол — 60°
   • Если сторона равна 1, то радиус описанной окружности тоже равен 1 (шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников)
3. Пример 3случай

   В архитектуре

   Пояснение

   • купола и окна часто имеют форму правильных восьмиугольников, что придаёт зданию симметричный вид
4. Пример 4случай

   В технике

   Пояснение

   • гайки делают в форме правильных шестиугольников, чтобы их можно было легко закручивать ключом

• Пчелиные соты состоят из правильных шестиугольников — это самая экономичная форма для хранения мёда при минимальном расходе воска.
• Правильные многоугольники использовались ещё в древности: например, правильный пятиугольник (пентагон) был символом пифагорейцев.
• Снежинки часто имеют форму правильных шестиугольников из-за молекулярной структуры льда.

• Окружность и круг (длина окружности, площадь круга)
• Тригонометрические функции острого угла (синус, косинус, тангенс)
• Подобие треугольников
• Площади многоугольников