Длина окружности и площадь круга

Научиться понимать и применять формулы длины окружности и площади круга, а также их частей (дуги, сектора, сегмента) в задачах и жизненных ситуациях.

Эти формулы используются повсеместно: при расчёте длины забора вокруг круглой клумбы, площади круглого стола, длины ремня в технике, при проектировании колёс, труб, резервуаров и даже в астрономии для расчёта орбит.

• Длина окружности прямо пропорциональна её диаметру, коэффициент пропорциональности — число π.
• Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, коэффициент — число π.
• Число π — иррациональное, его приближённое значение 3,14159...
• Длина дуги окружности зависит от радиуса и градусной меры дуги.
• Площадь сектора — часть площади круга, пропорциональная его углу.
• Площадь сегмента можно найти как разность площади сектора и площади треугольника.
• Формулы длины окружности и площади круга являются фундаментом для вычисления объёмов и площадей тел вращения (цилиндр, конус, шар).

Окружность

Множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра.

Круг

Часть плоскости, ограниченная окружностью, включая саму окружность.

Число π (пи)

Отношение длины окружности к её диаметру; приближённо равно 3,14159. Это иррациональное число, то есть его десятичная запись бесконечна и непериодична.

Длина окружности

Периметр окружности, то есть общая длина её границы. Обозначается C.

Площадь круга

Мера плоской области, ограниченной окружностью. Обозначается S.

Дуга окружности

Часть окружности, заключённая между двумя её точками.

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними.

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой и дугой, которую эта хорда стягивает.

• Длина окружности: C = 2πR, где R — радиус. Эквивалентно C = πD, где D — диаметр.
• Площадь круга: S = πR².
• Длина дуги окружности с градусной мерой α: L = (πRα) / 180°.
• Площадь сектора с углом α: S_сектора = (πR²α) / 360°.
• Площадь сегмента: S_сегмента = S_сектора − S_треугольника, образованного радиусами и хордой.
• Число π приближённо равно 22/7, но это лишь грубое приближение, точнее 3,14159.
• Если радиус окружности увеличить в k раз, длина окружности увеличится в k раз, а площадь круга — в k² раз.

1. Пример 1случай
   • Если диаметр колеса велосипеда 70 см, то за один оборот велосипед проезжает примерно 2,2 метра (C = π·0,7 ≈ 2,2 м)
2. Пример 2случай
   • Площадь круглой пиццы радиусом 30 см равна примерно 2827 см² (S = π·30² ≈ 2827)
3. Пример 3случай
   • Длина дуги в 90° окружности радиусом 10 см равна примерно 15,7 см (L = (π·10·90)/180 ≈ 15,7)
4. Пример 4случай
   • Если сектор круга радиусом 6 см имеет угол 60°, его площадь равна примерно 18,85 см² (S = (π·36·60)/360 ≈ 18,85)
5. Пример 5случай

   Сегмент, отсекаемый хордой, можно представить как «горбушку» от круглого торта

   Пояснение

   • его площадь меньше площади сектора на площадь треугольника

• В Древнем Египте считали, что π ≈ 3,16, а в Вавилоне — 3,125. Более точные значения появились только в античности.
• Архимед в III веке до н.э. вычислил π с точностью до двух знаков, используя вписанные и описанные многоугольники.
• В 2021 году было вычислено более 62 триллионов знаков π — это рекорд, но для практических расчётов достаточно 3,14 или даже 3,1416.

• Правильные многоугольники
• Длина окружности и площадь круга (базовые понятия)
• Площади плоских фигур
• Объёмы тел вращения (цилиндр, конус, шар)