Вписанные и описанные многоугольники

Научиться определять, является ли многоугольник вписанным или описанным, и применять их свойства для нахождения углов, сторон и радиусов.

Понимание вписанных и описанных многоугольников используется в архитектуре (проектирование куполов, арок), в технике (расчёт колёс, шестерёнок), в навигации и картографии, а также в природе (пчелиные соты, кристаллы). Эти знания развивают пространственное мышление и помогают решать практические задачи, связанные с окружностями и фигурами.

• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.
• Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.
• Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.
• Не всякий многоугольник можно вписать в окружность или описать около неё; существуют условия, при которых это возможно.
• Для правильных многоугольников (равносторонних и равноугольных) всегда существуют и вписанная, и описанная окружности, и их центры совпадают.
• Свойства вписанных и описанных четырёхугольников являются ключевыми для решения многих задач.

Вписанный многоугольник

Многоугольник, все вершины которого лежат на некоторой окружности. Эта окружность называется описанной около многоугольника.

Описанный многоугольник

Многоугольник, все стороны которого касаются некоторой окружности. Эта окружность называется вписанной в многоугольник.

Описанная окружность

Окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Вписанная окружность

Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Её центр — точка пересечения биссектрис углов многоугольника.

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Например, равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник.

• Около любого треугольника можно описать окружность, и в любой треугольник можно вписать окружность.
• Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов равна 180° (α + γ = 180° и β + δ = 180°).
• Описанный четырёхугольник: суммы длин противоположных сторон равны (a + c = b + d).
• Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.
• В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
• Для правильного n-угольника: радиус описанной окружности R = a / (2·sin(180°/n)), радиус вписанной окружности r = a / (2·tg(180°/n)), где a — сторона.
• Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром вписанной окружности и является центром симметрии многоугольника.

1. Пример 1случай

   Колесо обозрения

   Пояснение

   • кабинки расположены на окружности, а сам круг — это описанная окружность для многоугольника, образованного точками крепления кабинок
2. Пример 2случай

   Пчелиные соты

   Пояснение

   • каждая ячейка — правильный шестиугольник, описанный около окружности (воображаемой), что позволяет эффективно использовать воск
3. Пример 3случай

   Форма стола

   Пояснение

   • если стол квадратный, то тарелки можно расставить по кругу так, чтобы они касались краёв стола — это пример вписанной окружности в квадрат
4. Пример 4случай

   Звезда на флаге

   Пояснение

   • пятиконечная звезда — это многоугольник, который можно вписать в окружность, и её вершины лежат на этой окружности

• Правильный шестиугольник можно вписать в окружность так, что его сторона равна радиусу этой окружности. Это свойство используется при построении пчелиных сот — они состоят из правильных шестиугольников, что позволяет заполнить плоскость без зазоров.
• Теорема о вписанном четырёхугольнике была известна ещё древнегреческому математику Евклиду и используется в геодезии для измерения расстояний на местности.
• В архитектуре купола часто имеют форму полуокружности, описанной около основания, что обеспечивает равномерное распределение нагрузки.

• Окружность и круг (9 класс)
• Центральные и вписанные углы
• Подобие треугольников
• Теорема синусов и косинусов
• Площади многоугольников