Касательная к окружности

Научиться определять касательную к окружности, применять её свойства и признак для решения геометрических задач.

Касательная — одна из ключевых фигур в геометрии, она встречается в технике (проектирование дорог, шестерёнок), в оптике (отражение света от кривых поверхностей) и в природе (траектории движения). Понимание свойств касательной позволяет решать практические задачи, связанные с окружностями и их взаимодействием с прямыми.

• Касательная — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Если прямая перпендикулярна радиусу в точке, лежащей на окружности, то она является касательной.
• Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.
• Касательная и радиус, проведённый в точку касания, образуют прямой угол.
• Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу окружности.
• Касательная не имеет общих точек с окружностью, кроме точки касания.
• Если прямая и окружность имеют две общие точки, то прямая является секущей, а не касательной.

Касательная к окружности

Прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

Точка касания

Единственная общая точка касательной и окружности.

Радиус, проведённый в точку касания

Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой касания.

Признак касательной

Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной.

Отрезки касательных

Отрезки от данной точки до точек касания, проведённые из одной внешней точки к окружности; они равны между собой.

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках.

• Свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной (угол между ними равен 90°).
• Признак касательной: если прямая перпендикулярна радиусу в точке, лежащей на окружности, то она — касательная.
• Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: AB = AC, где B и C — точки касания.
• Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу окружности.
• Если прямая и окружность имеют одну общую точку, то это касательная; если две — секущая; если ни одной — прямая не пересекает окружность.
• Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду (теорема о касательной и хорде).

1. Пример 1случай

   Если вы катаетесь на велосипеде, колесо касается дороги в одной точке

   Пояснение

   • это точка касания, а дорога в этот момент является касательной к окружности колеса
2. Пример 2случай
   • При игре в бильярд, когда шар ударяется о борт, траектория отскока строится с использованием касательной к окружности шара в точке удара
3. Пример 3случай

   В архитектуре арочные мосты

   Пояснение

   • опоры моста часто касаются арки в одной точке, и это касание рассчитывается с помощью свойств касательной
4. Пример 4случай
   • Если из точки вне окружности провести две касательные, то расстояния от этой точки до точек касания будут равны — это можно проверить, например, при построении касательных к колесу обозрения

• В Древней Греции касательную к окружности называли «линией, которая касается, но не пересекает». Это понятие использовал Евклид в своих «Началах».
• Свойство касательной используется в оптике: при отражении света от зеркальной поверхности (например, в параболических антеннах) угол падения равен углу отражения, а касательная играет роль зеркала в точке падения.
• В технике касательные применяются при проектировании зубчатых колёс: профиль зуба очерчивается по эвольвенте, которая строится с использованием касательных к окружности.

• Окружность и её элементы (радиус, диаметр, хорда)
• Взаимное расположение прямой и окружности
• Центральные и вписанные углы
• Теорема о касательной и хорде
• Свойства равнобедренных треугольников