Геометрия · 9 класс · Геометрия ФГОС · урок 15 · только теория
Углы, связанные с окружностью
Тема раскрывает, как углы связаны с окружностью: центральные, вписанные, углы между хордами, секущими и касательными. Мы узнаем, как измерять эти углы и почему они так важны в геометрии и реальном мире.
Чему учимся понимать
Научиться понимать и вычислять углы, связанные с окружностью, используя их свойства и теоремы.
Зачем это нужно
Эти знания лежат в основе архитектуры, инженерии, навигации и даже компьютерной графики. Понимание углов в окружности помогает решать задачи на построение, измерение расстояний и создание точных чертежей.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
- Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.
- Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними.
- Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключённых между ними.
- Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, заключённых между ними.
Определения
- Центральный угол
- Угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами.
- Вписанный угол
- Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами.
- Дуга окружности
- Часть окружности, заключённая между двумя точками.
- Градусная мера дуги
- Величина дуги, измеряемая в градусах, равная центральному углу, который на неё опирается.
- Касательная к окружности
- Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.
- Хорда
- Отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Секущая
- Прямая, пересекающая окружность в двух точках.
Ключевые факты и правила
- Градусная мера полной окружности равна 360°.
- Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается: ∠AOB = ∪AB.
- Вписанный угол равен половине дуги: ∠ACB = ½ ∪AB.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
- Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, заключённой между ними: ∠(кас, хорда) = ½ ∪AB.
- Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме дуг, заключённых между ними: ∠ = ½ (∪AB + ∪CD).
- Угол между двумя секущими, проведёнными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг: ∠ = ½ (∪большая − ∪малая).
Теория
Определите, какой тип угла дан: центральный, вписанный, между хордами, секущими или касательной и хордой.
Найдите дуги, на которые опирается угол, или которые заключены между его сторонами.
Примените соответствующую теорему: для центрального — равенство дуге, для вписанного — половина дуги, для остальных — полусумма или полуразность.
Вычислите искомый угол, подставив значения дуг.
Примеры
- Пример 1случай
- Если центральный угол равен 60°, то дуга, на которую он опирается, тоже равна 60°
- Пример 2случай
- Вписанный угол, опирающийся на дугу в 100°, будет равен 50°
- Пример 3случай
- Угол между касательной и хордой, если дуга между ними равна 80°, составит 40°
- Пример 4расчёт
- Если две хорды пересекаются внутри окружности, и дуги между ними равны 30° и 50°
- то угол между хордами равен (30°+50°)/2 = 40°
- Пример 5расчёт
- Если из точки вне окружности проведены две секущие, и дуги между ними равны 120° и 40°
- то угол между секущими равен (120°−40°)/2 = 40°
Интересно знать
- Теорема о вписанном угле была известна ещё древнегреческому математику Фалесу Милетскому, который использовал её для измерения расстояний до кораблей в море.
- Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр, используется в строительстве: если угол между двумя стенами равен 90°, то они опираются на диаметр невидимой окружности, что позволяет проверять перпендикулярность.
Связанные темы
- Окружность и круг (базовые понятия)
- Касательная к окружности
- Свойства хорд и секущих
- Треугольники и их элементы
- Четырёхугольники, вписанные в окружность