Геометрия · 9 класс · Геометрия ФГОС · урок 16 · только теория
Теоремы о вписанных углах
Тема раскрывает связь между вписанным углом и дугой, на которую он опирается. Главный результат — теорема о том, что вписанный угол равен половине дуги, а также следствия о прямых углах, опирающихся на диаметр, и о равенстве углов, опирающихся на одну дугу.
Чему учимся понимать
Научиться вычислять вписанные углы и понимать их свойства в окружности.
Зачем это нужно
Вписанные углы встречаются в архитектуре (арки, купола), в навигации (определение положения по звёздам), в инженерных расчётах и в решении геометрических задач. Понимание этой темы развивает пространственное мышление и логику.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
- Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.
- Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, а вписанный — половине этой дуги.
- Если вписанные углы опираются на равные дуги, то они равны.
- Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен 90°.
Определения
- Вписанный угол
- Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
- Центральный угол
- Угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами.
- Дуга окружности
- Часть окружности, заключённая между двумя её точками.
- Градусная мера дуги
- Величина дуги в градусах, равная величине соответствующего центрального угла.
- Опираться на дугу
- Говорят, что угол опирается на дугу, если его стороны проходят через концы этой дуги, а вершина лежит на окружности (для вписанного угла).
Ключевые факты и правила
- Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
- Следствие 1: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Следствие 2: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
- Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, а вписанный — половине этой дуги.
- Если вписанный угол опирается на полуокружность, то он прямой.
- Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны между собой.
Теория
Вспомнить, что такое центральный угол и как он связан с дугой.
Определить вписанный угол и понять, на какую дугу он опирается.
Доказать теорему о вписанном угле, рассмотрев случаи, когда центр окружности лежит внутри угла, на стороне угла или вне угла.
Сформулировать следствия из теоремы и запомнить их для решения задач.
Научиться применять теорему для нахождения углов в окружности.
Примеры
- Пример 1случай
- Если центральный угол равен 80°, то дуга, на которую он опирается, равна 80°, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 40°
- Пример 2случай
- В окружности проведён диаметр AB
- Любой вписанный угол, опирающийся на AB, будет прямым (90°), например, угол ACB, где C — любая точка окружности
- Пример 3случай
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, например, углы ∠ABC и ∠ADC, то они равны, даже если вершины расположены по разные стороны от дуги
Интересно знать
- Теорема о вписанном угле была известна ещё древнегреческому математику Фалесу Милетскому, который доказал, что угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
- Вписанные углы используются в астрономии для измерения угловых расстояний между звёздами.
- Свойство вписанных углов лежит в основе работы некоторых оптических приборов, например, секстантов.
Связанные темы
- Центральные и вписанные углы
- Окружность и её элементы
- Свойства хорд и дуг
- Вписанные и описанные четырёхугольники