Непозиционные и позиционные системы счисления

Научиться различать непозиционные и позиционные системы счисления и понимать, как устроена запись чисел в позиционных системах.

Понимание систем счисления помогает осознать, как устроены числа, почему компьютеры используют двоичный код, и как переводить числа из одной системы в другую — это база для программирования и цифровой техники.

• Система счисления — это способ записи чисел с помощью ограниченного набора знаков (цифр).
• В непозиционных системах значение цифры не зависит от её места в записи числа (например, в римской системе X всегда означает 10).
• В позиционных системах значение цифры зависит от её позиции (разряда) в числе: в числе 333 одна и та же цифра 3 означает 300, 30 и 3.
• Основание позиционной системы — это количество цифр, используемых для записи чисел. Например, в десятичной системе основание 10, в двоичной — 2.
• Любое число в позиционной системе можно представить в развёрнутой форме как сумму произведений цифр на степени основания.
• Компьютеры используют двоичную систему, потому что её легко реализовать технически: два состояния (0 и 1) соответствуют выключено/включено.
• Непозиционные системы неудобны для вычислений: в них сложно выполнять арифметические операции и записывать большие числа.

Система счисления

Это способ записи чисел с помощью специальных знаков — цифр.

Непозиционная система счисления

Система, в которой значение цифры не зависит от её места в записи числа. Например, в римской системе V всегда означает 5, где бы она ни стояла.

Позиционная система счисления

Система, в которой значение цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, в числе 2020 цифра 2 означает 2000 и 20.

Основание системы счисления

Количество цифр, используемых в системе. В десятичной системе основание 10 (цифры 0–9), в двоичной — 2 (цифры 0 и 1).

Алфавит системы счисления

Набор цифр, которые используются в данной системе. Например, алфавит двоичной системы — {0, 1}, алфавит десятичной — {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Разряд

Позиция цифры в числе. В числе 123 разряды: 1 — сотни, 2 — десятки, 3 — единицы.

• В позиционной системе счисления значение цифры умножается на основание в степени, равной номеру разряда (начиная с нуля справа). Например, 235₁₀ = 2×10² + 3×10¹ + 5×10⁰.
• Двоичная система использует только две цифры — 0 и 1. Число 1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 11₁₀.
• Восьмеричная система имеет основание 8 (цифры 0–7), шестнадцатеричная — основание 16 (цифры 0–9 и буквы A–F).
• Римская система — пример непозиционной: число IV означает 4 (5−1), но значение I не зависит от позиции — оно всегда 1.
• В непозиционных системах нет нуля как отдельного знака, поэтому запись больших чисел громоздка и неудобна.
• Перевод числа из любой позиционной системы в десятичную выполняется через развёрнутую форму.

1. Пример 1случай

   Римская запись числа 2024 — MMXXIV

   Пояснение

   • M (1000) + M (1000) + X (10) + X (10) + IV (4)
   • Здесь значение каждой буквы постоянно
2. Пример 2случай
   • В десятичной системе число 345 означает 3 сотни, 4 десятка и 5 единиц: 3×100 + 4×10 + 5
3. Пример 3случай
   • Двоичное число 1101₂ = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13₁₀
   • Так компьютер хранит число 13
4. Пример 4случай
   • В шестнадцатеричной системе число A5₁₆ = 10×16 + 5 = 165₁₀
   • Буква A обозначает 10

• Древние египтяне использовали непозиционную систему с иероглифами: палка — 1, дуга — 10, спираль — 100 и т.д.
• Вавилоняне использовали шестидесятеричную систему (основание 60), поэтому у нас в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд.
• Компьютеры используют двоичную систему, но для удобства человека часто применяют восьмеричную и шестнадцатеричную — они короче и легко переводятся из двоичной.

• Перевод чисел между системами счисления
• Двоичная арифметика
• Кодирование информации