Двоичная система счисления. Арифметические операции в двоичной системе счисления

Научиться понимать, как устроены двоичные числа, переводить их в десятичную систему и обратно, а также выполнять арифметические операции с ними.

Двоичная система — это язык компьютеров: вся информация (тексты, картинки, видео) хранится и обрабатывается в виде последовательностей нулей и единиц. Понимание двоичной арифметики помогает понять, как работают процессоры, как кодируются данные и почему компьютеры используют именно два состояния.

• В двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
• Основание двоичной системы равно 2, поэтому каждая позиция (разряд) числа имеет вес, равный степени двойки.
• Перевод двоичного числа в десятичное выполняется суммированием произведений цифр на степени двойки.
• Перевод десятичного числа в двоичное выполняется последовательным делением на 2 с записью остатков.
• Арифметические операции в двоичной системе выполняются по тем же правилам, что и в десятичной, но с учётом основания 2.
• При сложении в двоичной системе, если сумма в разряде достигает 2, происходит перенос в следующий разряд.
• Вычитание в двоичной системе может требовать заёма из старшего разряда, аналогично десятичной системе.
• Умножение в двоичной системе сводится к сдвигам и сложению, так как каждая цифра множителя — 0 или 1.
• Деление в двоичной системе выполняется аналогично десятичному, но с двоичными цифрами частного.

Система счисления

Способ записи чисел с помощью определённого набора цифр и правил их использования.

Основание системы счисления

Количество цифр, используемых в системе. Например, в десятичной системе основание 10, в двоичной — 2.

Двоичная система счисления

Позиционная система счисления с основанием 2, в которой используются только цифры 0 и 1.

Разряд

Позиция цифры в числе. В двоичной системе каждый разряд соответствует степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16 и т.д.

Перевод чисел

Преобразование числа из одной системы счисления в другую, например, из двоичной в десятичную.

• В двоичной системе каждая цифра называется битом (от англ. binary digit).
• Правило перевода из двоичной в десятичную: умножить каждую цифру на 2 в степени её позиции (начиная с нуля справа) и сложить результаты. Например, 101₂ = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5.
• Правило перевода из десятичной в двоичную: последовательно делить число на 2, записывая остатки (0 или 1) справа налево. Например, 13₁₀ = 1101₂.
• Сложение в двоичной системе: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (перенос 1 в следующий разряд).
• Вычитание в двоичной системе: 0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 0-1=1 с заёмом 1 из старшего разряда.
• Умножение в двоичной системе: 0×0=0, 0×1=0, 1×0=0, 1×1=1. Умножение на 1 даёт само число, на 0 — ноль.
• Деление в двоичной системе выполняется как обычное деление столбиком, но с двоичными цифрами.
• Компьютеры используют двоичную систему, потому что электронные схемы легко различают два состояния: есть напряжение (1) и нет напряжения (0).

1. Пример 1расчёт

   Число 1101₂ в десятичной системе

   Решение

   • 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13₁₀
   • Так компьютер хранит число 13
2. Пример 2расчёт

   Перевод числа 25₁₀ в двоичную

   Решение

   • 25 ÷ 2 = 12 (остаток 1), 12 ÷ 2 = 6 (0), 6 ÷ 2 = 3 (0), 3 ÷ 2 = 1 (1), 1 ÷ 2 = 0 (1)
   • Читаем остатки снизу вверх: 11001₂
3. Пример 3расчёт

   Сложение

   Решение

   • 101₂ + 11₂ = 1000₂
   • Проверим: 5 + 3 = 8, а 1000₂ = 8
4. Пример 4расчёт

   Вычитание

   Решение

   • 110₂ - 101₂ = 1₂
   • Проверим: 6 - 5 = 1
5. Пример 5расчёт

   Умножение

   Решение

   • 101₂ × 11₂ = 1111₂
   • Проверим: 5 × 3 = 15, а 1111₂ = 15

• Первая двоичная система была описана ещё в Древнем Китае в книге «И Цзин» (Книга Перемен), где использовались гексаграммы из прерывистых и целых линий.
• Готфрид Лейбниц в XVII веке разработал двоичную арифметику и считал, что она символизирует творение из ничего (0) и единицы (1).
• В двоичной системе число 256 записывается как 100000000 — это 9 разрядов, а в десятичной всего 3. Поэтому двоичные числа длиннее, но их легче обрабатывать электронике.

• Представление чисел в компьютере
• Кодирование информации
• Логические операции
• Системы счисления (восьмеричная, шестнадцатеричная)