Определение истинности составного высказывания

Научиться определять истинность составного высказывания, зная истинность входящих в него простых высказываний и правила логических операций.

Логика лежит в основе работы компьютеров, поисковых запросов, программирования и даже составления сложных условий в повседневной жизни (например, «купить хлеб и молоко, если есть деньги или если магазин открыт»). Понимание истинности составных высказываний помогает точно формулировать мысли и избегать ошибок в рассуждениях.

• Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
• Составное высказывание строится из простых с помощью логических связок: «и», «или», «не», а также «если… то», «тогда и только тогда».
• Истинность составного высказывания зависит только от истинности простых высказываний и вида логической операции, а не от смысла предложения.
• Конъюнкция (И) истинна только тогда, когда оба простых высказывания истинны.
• Дизъюнкция (ИЛИ) истинна, когда истинно хотя бы одно из простых высказываний.
• Инверсия (НЕ) меняет значение высказывания на противоположное: истина становится ложью, ложь — истиной.
• Порядок выполнения логических операций в составном высказывании: сначала НЕ, затем И, затем ИЛИ; для изменения порядка используют скобки.

Высказывание

Повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Например, «2 + 2 = 4» — истинное высказывание, «Снег зелёный» — ложное.

Простое высказывание

Высказывание, которое не содержит логических связок (и, или, не и т.п.). Например, «Сегодня идёт дождь».

Составное высказывание

Высказывание, образованное из нескольких простых с помощью логических операций. Например, «Сегодня идёт дождь и дует ветер».

Конъюнкция (логическое И)

Логическая операция, которая соединяет два высказывания союзом «и». Результат истинен только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Дизъюнкция (логическое ИЛИ)

Логическая операция, которая соединяет два высказывания союзом «или». Результат истинен, если истинно хотя бы одно из исходных высказываний.

Инверсия (логическое НЕ)

Логическая операция, которая изменяет значение высказывания на противоположное: истинное становится ложным, ложное — истинным.

Таблица истинности

Таблица, в которой для всех возможных значений простых высказываний указано значение составного высказывания.

• Таблица истинности для конъюнкции (И): истина только в случае «истина И истина»; во всех остальных случаях — ложь.
• Таблица истинности для дизъюнкции (ИЛИ): ложь только в случае «ложь ИЛИ ложь»; во всех остальных случаях — истина.
• Таблица истинности для инверсии (НЕ): НЕ истина = ложь, НЕ ложь = истина.
• Приоритет операций: сначала выполняется НЕ, затем И, затем ИЛИ. Скобки меняют порядок: выражение в скобках вычисляется первым.
• Для определения истинности составного высказывания нужно: 1) разбить его на простые, 2) определить истинность каждого простого, 3) последовательно применить логические операции по правилам.
• Логические операции подчиняются законам алгебры логики, например, закону двойного отрицания: НЕ (НЕ A) = A.

1. Пример 1случай

   Пример

   Пояснение

   • «Сегодня идёт снег и температура ниже нуля»
   • Если на улице снег идёт, но температура +5°, то составное высказывание ложно, потому что второе простое высказывание ложно
2. Пример 2случай

   Пример

   Пояснение

   • «Я возьму зонт, если на улице дождь или пасмурно»
   • Если дождя нет, но пасмурно, то высказывание истинно, так как выполняется условие «или»
3. Пример 3расчёт

   Пример: «Неверно, что 2 + 2 = 5»

   Решение

   • составное высказывание с инверсией: простое «2 + 2 = 5» ложно, а инверсия делает его истинным
4. Пример 4случай

   Пример

   Пояснение

   • «(5 > 3) И (2 < 4)» — истинно, потому что оба простых высказывания истинны
   • Если бы одно было ложным, всё выражение стало бы ложным

• Логические операции «И», «ИЛИ», «НЕ» лежат в основе работы всех электронных схем компьютера: процессор выполняет миллиарды таких операций в секунду.
• В поисковых системах (например, Яндекс, Google) можно использовать логические операторы: «кофе ИЛИ чай» найдёт страницы, где есть хотя бы одно из слов, а «кофе И чай» — где есть оба слова.

• Высказывание и логические операции (урок 8)
• Таблицы истинности (урок 10)
• Логические законы и преобразование выражений (урок 11)
• Алгебра логики в программировании (условные операторы)