Таблицы истинности

Научиться строить и читать таблицы истинности для логических выражений с операциями НЕ, И, ИЛИ и скобками.

Таблицы истинности лежат в основе работы всех цифровых устройств: от простых выключателей до процессоров. Понимание таблиц помогает разбираться в логике программ, поисковых запросов и даже в аргументации в спорах.

• Логическое выражение — это конструкция, которая может быть либо истинной, либо ложной, в зависимости от значений переменных.
• Каждая логическая операция имеет свою таблицу истинности: НЕ (инверсия), И (конъюнкция), ИЛИ (дизъюнкция).
• Таблица истинности показывает все возможные комбинации значений переменных и результат выражения для каждой комбинации.
• Количество строк в таблице истинности равно 2^n, где n — число логических переменных в выражении.
• Порядок выполнения операций в логическом выражении: сначала НЕ, затем И, затем ИЛИ, если нет скобок.
• Скобки меняют порядок выполнения операций, как и в математике.
• Таблицы истинности позволяют сравнивать логические выражения: если их таблицы совпадают, выражения равносильны.

Логическая переменная

Переменная, которая может принимать только два значения: истина (1) или ложь (0).

Логическое выражение

Выражение, составленное из логических переменных и логических операций, которое в результате дает истину или ложь.

Инверсия (НЕ)

Операция, которая меняет значение переменной на противоположное: было истина — стало ложь, и наоборот.

Конъюнкция (И)

Операция, которая дает истину только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Дизъюнкция (ИЛИ)

Операция, которая дает ложь только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Таблица истинности

Таблица, в которой перечислены все возможные значения логических переменных и соответствующие им значения логического выражения.

• Таблица истинности для НЕ: если A = 0, то НЕ A = 1; если A = 1, то НЕ A = 0.
• Таблица истинности для И (конъюнкция): A И B = 1 только когда A = 1 и B = 1; во всех остальных случаях результат 0.
• Таблица истинности для ИЛИ (дизъюнкция): A ИЛИ B = 0 только когда A = 0 и B = 0; во всех остальных случаях результат 1.
• Количество строк в таблице истинности для n переменных равно 2^n. Например, для двух переменных — 4 строки, для трех — 8.
• Порядок операций: сначала НЕ, потом И, потом ИЛИ. Скобки имеют высший приоритет.
• Логическое выражение может быть тождественно истинным (всегда 1) или тождественно ложным (всегда 0).

1. Пример 1случай

   Пример с выключателем

   Пояснение

   • два выключателя соединены последовательно (оба должны быть включены, чтобы горела лампа) — это логическая операция И
   • Если они соединены параллельно (достаточно одного включенного) — это ИЛИ
2. Пример 2случай

   Пример с погодой

   Пояснение

   • выражение «(дождь И ветер) ИЛИ (снег)» — таблица истинности покажет, в каких случаях утверждение «на улице плохая погода» истинно
3. Пример 3случай

   Пример с поиском в интернете

   Пояснение

   • запрос «кошки И собаки» найдет страницы, где есть оба слова, а «кошки ИЛИ собаки» — где есть хотя бы одно

• Таблицы истинности были придуманы задолго до компьютеров — их описал американский философ Чарльз Пирс в конце XIX века, а затем систематизировал Эмиль Пост в 1920-х годах.
• Логические операции И, ИЛИ, НЕ соответствуют базовым логическим элементам в микросхемах: вентилям AND, OR, NOT. Из них строятся все цифровые устройства, включая процессоры.
• В поисковых системах, например в Google, можно использовать логические операторы: кавычки для точной фразы (аналог И), минус для исключения (аналог НЕ), OR для альтернативы.

• Логические операции и высказывания
• Законы алгебры логики
• Логические элементы и схемы