Контрольная работа по теме «Элементы математической логики»

Научиться понимать логику как инструмент точного описания условий и принятия решений, а также видеть связь между логической формулой и её таблицей истинности.

Логика — это язык, на котором «думает» компьютер. Понимание её основ необходимо для программирования, создания поисковых запросов, работы с базами данных и даже для грамотного ведения споров и аргументации в жизни.

• Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
• Логическая операция — это способ преобразования одного или нескольких высказываний в новое высказывание.
• Конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.
• Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны оба исходных высказывания.
• Инверсия меняет значение высказывания на противоположное.
• Порядок выполнения логических операций в выражении: сначала НЕ, затем И, и только потом ИЛИ (если нет скобок).
• Для каждого логического выражения можно построить таблицу истинности, которая полностью описывает его поведение.

Высказывание

Предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Например, «Земля вращается вокруг Солнца» — истинное высказывание.

Логическая переменная

Переменная, которая может принимать только два значения: «истина» (1) или «ложь» (0). Обозначается буквами A, B, C и т.д.

Конъюнкция (логическое умножение, И)

Операция, которая соединяет два высказывания союзом «И». Результат истинен, только если оба высказывания истинны. Обозначается ∧ или &.

Дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ)

Операция, которая соединяет два высказывания союзом «ИЛИ». Результат ложен, только если оба высказывания ложны. Обозначается ∨ или |.

Инверсия (логическое отрицание, НЕ)

Операция, которая меняет значение высказывания на противоположное. Если A истинно, то НЕ A ложно. Обозначается ¬A или чертой над буквой.

Таблица истинности

Таблица, которая показывает, какое значение принимает логическое выражение при всех возможных комбинациях значений входящих в него переменных.

• Количество строк в таблице истинности для выражения с n переменными равно 2ⁿ. Для двух переменных — 4 строки, для трёх — 8.
• Таблица истинности конъюнкции: 0 ∧ 0 = 0, 0 ∧ 1 = 0, 1 ∧ 0 = 0, 1 ∧ 1 = 1.
• Таблица истинности дизъюнкции: 0 ∨ 0 = 0, 0 ∨ 1 = 1, 1 ∨ 0 = 1, 1 ∨ 1 = 1.
• Таблица истинности инверсии: ¬0 = 1, ¬1 = 0.
• Закон двойного отрицания: ¬(¬A) = A. «Неверно, что не A» означает просто «A».
• Законы де Моргана: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B и ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B. Отрицание «И» превращается в «ИЛИ» с отрицаниями, и наоборот.

1. Пример 1случай

   Высказывание «Сегодня идёт дождь»

   Пояснение

   • истинное или ложное
   • Если мы добавим «И я взял зонт», то получим конъюнкцию: она будет истинной только если идёт дождь И зонт взят
2. Пример 2случай

   Условие «Купить хлеб ИЛИ молоко»

   Пояснение

   • это дизъюнкция
   • Оно будет ложным только в одном случае: если не куплено ни хлеба, ни молока
3. Пример 3случай

   Высказывание «Этот файл не заражён вирусом»

   Пояснение

   • это инверсия высказывания «Этот файл заражён вирусом»
4. Пример 4случай
   • Поисковый запрос «кошки И собаки» в интернете найдёт страницы, где упоминаются оба слова
   • Запрос «кошки ИЛИ собаки» найдёт страницы, где есть хотя бы одно из этих слов

• Все современные компьютеры построены на логических элементах «И», «ИЛИ» и «НЕ», которые реализованы в виде микросхем. Миллиарды таких элементов работают внутри процессора.
• Логика — это не только наука, но и основа для создания компьютерных игр: любое условие «если игрок нажал кнопку И собрал ключ, то дверь откроется» — это чистая конъюнкция.
• Английский математик Джордж Буль в XIX веке создал алгебру логики, которая сейчас называется булевой алгеброй. Именно на ней основана работа всей цифровой техники.

• Табличный способ решения логических задач
• Логические элементы и схемы
• Условные операторы в программировании (алгоритмизация)