Дерево. Перебор вариантов с помощью дерева

Научиться строить дерево перебора вариантов и использовать его для подсчёта количества возможных исходов.

Дерево перебора — это универсальный инструмент для решения задач, где нужно перебрать все возможные варианты (например, в комбинаторике, при анализе игр, в логистике). Оно помогает систематизировать перебор, избежать ошибок и наглядно представить структуру выбора.

• Дерево — это граф без циклов, в котором от корня к листьям идут ветви.
• Каждая ветвь дерева соответствует одному варианту выбора.
• Листья дерева — это конечные варианты, которые нельзя продолжить.
• Количество листьев дерева равно числу всех возможных вариантов.
• Дерево перебора помогает систематизировать перебор и избежать пропусков.
• Дерево можно строить как вглубь (сначала одна ветвь до конца), так и вширь (по уровням).
• При построении дерева важно следить за тем, чтобы не было повторяющихся вариантов.

Дерево

Граф, в котором нет циклов, и есть одна вершина, из которой выходят все остальные (корень).

Корень дерева

Начальная вершина дерева, от которой идут все ветви.

Ветвь (ребро)

Линия, соединяющая две соседние вершины дерева и показывающая один шаг выбора.

Лист

Вершина дерева, из которой не выходит ни одной ветви; она соответствует конечному варианту.

Уровень дерева

Множество вершин, находящихся на одинаковом расстоянии от корня (по числу шагов).

Перебор вариантов

Метод решения задачи, при котором рассматриваются все возможные случаи.

• Количество листьев дерева равно числу всех возможных вариантов перебора.
• Если на каждом уровне дерева количество ветвей одинаково, то общее число листьев можно вычислить по формуле: N = k^n, где k — число вариантов на каждом шаге, n — число шагов.
• Дерево перебора можно строить для задач на составление слов, чисел, маршрутов, расписаний и т.д.
• При построении дерева важно соблюдать порядок: сначала перебираем все варианты для первого шага, затем для каждого — для второго и так далее.
• Дерево перебора является частным случаем графа, поэтому для него справедливы основные понятия теории графов.

1. Пример 1случай

   Пример 1

   Пояснение

   • Составление всех двузначных чисел из цифр 1, 2, 3
   • Корень — пусто, первый уровень — выбор первой цифры (1, 2, 3), второй уровень — выбор второй цифры (для каждой первой цифры — три варианта)
   • Листья: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 — всего 9 вариантов
2. Пример 2расчёт

   Пример 2

   Решение

   • Выбор маршрута из точки A в точку C через точку B
   • Из A в B — 2 дороги, из B в C — 3 дороги
   • Дерево: корень A, первый уровень — две ветви (дороги в B), второй уровень — из каждой вершины B по три ветви (дороги в C)
   • Листьев 2*3=6
3. Пример 3случай

   Пример 3

   Пояснение

   • Бросание монеты два раза
   • Корень — начало, первый уровень — орел или решка, второй уровень — для каждого исхода снова орел или решка
   • Листья: ОО, ОР, РО, РР — 4 варианта

• Дерево перебора используется в компьютерных алгоритмах, например, для поиска кратчайшего пути или решения головоломок (например, задача о ходе коня).
• В биологии деревья используются для описания эволюции видов — филогенетические деревья.

• Графы
• Комбинаторика
• Алгоритмы