Математика · 5 класс · Математика ФГОС · урок 122 · только теория
Действия с десятичными дробями
Эта тема учит выполнять сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей, а также применять эти действия для решения практических задач. Мы разберемся, как правильно записывать дроби в столбик, как переносить запятую при умножении и делении, и почему это важно в жизни.
Чему учимся понимать
Научиться выполнять арифметические действия с десятичными дробями и понимать, как они работают.
Зачем это нужно
Десятичные дроби окружают нас повсюду: цены в магазине, измерения длины и веса, проценты, спортивные результаты, компьютерные расчеты. Умение с ними работать — это базовая математическая грамотность, необходимая каждому человеку.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Сложение и вычитание десятичных дробей выполняется поразрядно, как с натуральными числами, но с учетом запятой.
- При сложении и вычитании запятые должны быть друг под другом.
- Умножение десятичных дробей выполняется как умножение натуральных чисел, а затем в результате отделяется запятой столько цифр справа, сколько их было в обоих множителях вместе.
- При делении десятичной дроби на натуральное число запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.
- При делении на десятичную дробь нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе.
- Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., нужно перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей в множителе.
- Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., нужно перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.
Определения
- Десятичная дробь
- Это дробь, которую записывают через запятую, например, 0,5 или 3,14. Она показывает часть целого, разделенного на 10, 100, 1000 и т.д.
- Сложение десятичных дробей
- Это действие, при котором мы находим сумму двух или более десятичных дробей, складывая их поразрядно, как обычные числа.
- Вычитание десятичных дробей
- Это действие, при котором мы находим разность двух десятичных дробей, вычитая поразрядно.
- Умножение десятичных дробей
- Это действие, при котором мы находим произведение двух десятичных дробей, сначала перемножая их как целые числа, а затем отделяя запятой нужное количество знаков.
- Деление десятичных дробей
- Это действие, при котором мы находим частное двух десятичных дробей, предварительно преобразовав делитель в целое число.
Ключевые факты и правила
- При сложении и вычитании десятичных дробей запятая в результате ставится под запятыми в исходных числах.
- Если в десятичной дроби не хватает цифр для выполнения действия, можно дописать нули справа (например, 2,5 + 0,37 = 2,50 + 0,37).
- При умножении десятичных дробей количество знаков после запятой в произведении равно сумме количеств знаков после запятой в множителях.
- При делении десятичной дроби на натуральное число запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.
- При делении на десятичную дробь нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе.
- Умножение и деление на 10, 100, 1000 и т.д. сводится к переносу запятой вправо или влево на соответствующее количество цифр.
Теория
Сначала вспомним, что такое десятичная дробь: это запись числа, где после запятой идут десятые, сотые, тысячные и т.д.
Для сложения и вычитания: записываем дроби в столбик так, чтобы запятые были друг под другом. Если нужно, дописываем нули. Затем выполняем действие как с натуральными числами, а в результате ставим запятую под запятыми.
Для умножения: перемножаем числа, не обращая внимания на запятые, как целые числа. Затем считаем, сколько всего знаков после запятой в обоих множителях, и отделяем столько же знаков в произведении справа налево.
Для деления на натуральное число: делим как обычно, а когда заканчиваем делить целую часть, ставим запятую в частном и продолжаем деление.
Для деления на десятичную дробь: переносим запятую в делителе вправо, чтобы делитель стал целым числом. На столько же цифр переносим запятую в делимом. Затем выполняем деление на натуральное число.
Для умножения и деления на 10, 100, 1000 и т.д.: просто переносим запятую вправо (при умножении) или влево (при делении) на количество нулей.
Примеры
- Пример 1расчёт
В магазине
Решение
- если вы купили 2,5 кг яблок по 80,5 рубля за килограмм, то стоимость покупки вычисляется умножением: 2,5 × 80,5 = 202,25 рубля
- Пример 2расчёт
При измерении роста
Решение
- если ваш рост 1,45 метра, а через год он стал 1,52 метра, то прирост равен 1,52 − 1,45 = 0,07 метра (7 сантиметров)
- Пример 3расчёт
В спорте
Решение
- время бегуна на 100 метров может быть 12,34 секунды, а у другого — 12,56 секунды
- Разница во времени: 12,56 − 12,34 = 0,22 секунды
- Пример 4расчёт
В кулинарии
Решение
- если рецепт требует 0,75 литра молока, а у вас есть 1,5 литра, то после приготовления останется 1,5 − 0,75 = 0,75 литра
Интересно знать
- Десятичные дроби были изобретены для удобства вычислений, но в Древнем мире использовали только обыкновенные дроби. Первым, кто стал использовать десятичные дроби в современном виде, был фламандский математик Симон Стевин в XVI веке.
- В некоторых странах, например в США, вместо запятой для отделения целой части от дробной используют точку. Это может приводить к путанице при международных расчетах.
- Десятичные дроби позволяют точно измерять время: 0,5 часа — это 30 минут, а 0,25 часа — 15 минут.
Связанные темы
- Обыкновенные дроби
- Десятичные дроби: чтение и запись
- Сравнение десятичных дробей
- Округление чисел
- Проценты