Многогранники. Изображение многогранников. Модели пространственных тел

Научиться понимать, что такое многогранник, из каких элементов он состоит, и как его изобразить на плоскости или сделать модель.

Многогранники окружают нас повсюду: дома, коробки, кристаллы, пирамиды. Понимание их устройства помогает в архитектуре, дизайне, строительстве и даже в компьютерной графике. Умение изображать объёмные фигуры на плоскости развивает пространственное мышление.

• Многогранник — это геометрическое тело, поверхность которого состоит из многоугольников.
• Грани многогранника — это плоские многоугольники, из которых состоит его поверхность.
• Рёбра — это отрезки, по которым пересекаются соседние грани.
• Вершины — это точки, в которых сходятся рёбра.
• У каждого многогранника есть грани, рёбра и вершины; их количество связано формулой Эйлера.
• Многогранник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
• Правильные многогранники — это выпуклые многогранники, у которых все грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.
• Изображение многогранника на плоскости — это рисунок, передающий его форму с помощью линий (видимых и невидимых).
• Модель многогранника можно сделать из развёртки — плоской фигуры, из которой складывают объёмное тело.

Многогранник

Объёмная фигура, поверхность которой состоит из многоугольников (например, куб, пирамида).

Грань

Плоский многоугольник, который является частью поверхности многогранника (например, квадрат у куба).

Ребро

Отрезок, по которому пересекаются две соседние грани (например, сторона квадрата у куба).

Вершина

Точка, в которой сходятся рёбра многогранника (например, угол куба).

Развёртка

Плоская фигура, состоящая из всех граней многогранника, соединённых по рёбрам, из которой можно сложить этот многогранник.

Правильный многогранник

Многогранник, у которого все грани — одинаковые правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер (например, куб).

• Куб — это многогранник, у которого 6 граней (квадраты), 12 рёбер и 8 вершин.
• Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, у которого все грани — прямоугольники; у него тоже 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Треугольная пирамида (тетраэдр) — это многогранник, у которого 4 грани (треугольники), 6 рёбер и 4 вершины.
• Формула Эйлера: для любого выпуклого многогранника число вершин (В) минус число рёбер (Р) плюс число граней (Г) равно 2: В − Р + Г = 2.
• Существует ровно пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• На рисунке многогранника невидимые рёбра обычно изображают пунктирной линией, а видимые — сплошной.

1. Пример 1случай
   • Коробка из-под обуви — это прямоугольный параллелепипед: её грани — прямоугольники, рёбра — стороны коробки, вершины — углы
2. Пример 2случай

   Египетская пирамида — это многогранник

   Пояснение

   • основание — квадрат, боковые грани — треугольники, сходящиеся в одной вершине
3. Пример 3случай

   Кристалл поваренной соли имеет форму куба

   Пояснение

   • правильного многогранника
4. Пример 4случай

   Если развернуть бумажную коробку и расплющить её, получится развёртка

   Пояснение

   • плоская фигура, из которой можно снова собрать коробку

• Пчелиные соты состоят из шестиугольных призм — это пример многогранников в природе.
• Кристаллы соли и алмаза имеют форму правильных многогранников (куб и октаэдр).
• Знаменитые пирамиды в Египте — это многогранники с квадратным основанием и треугольными боковыми гранями.
• Игральная кость — это куб, на гранях которого нанесены точки от 1 до 6.

• Геометрические тела: цилиндр, конус, шар
• Площадь поверхности многогранника
• Объём прямоугольного параллелепипеда
• Правильные многогранники
• Развёртки и модели