Математика · 5 класс · Математика ФГОС · урок 154 · только теория
Прямоугольный параллелепипед, куб. Развёртки куба и параллелепипеда
Знакомимся с объёмными фигурами — прямоугольным параллелепипедом и его частным случаем кубом. Учимся видеть их элементы (грани, рёбра, вершины) и понимать, как из плоской развёртки получается объёмная фигура.
Чему учимся понимать
Научиться распознавать прямоугольный параллелепипед и куб, называть их элементы и представлять, как из развёртки складывается фигура.
Зачем это нужно
Параллелепипеды окружают нас повсюду: коробки, кирпичи, комнаты, шкафы. Понимание их устройства помогает рассчитывать площади поверхностей (например, сколько бумаги нужно для упаковки подарка) и объёмы (сколько воды в аквариуме). Развёртки — это чертежи, по которым делают упаковку, коробки и даже мебель.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Прямоугольный параллелепипед — это объёмная фигура, у которой все грани — прямоугольники.
- Куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все рёбра равны, а все грани — квадраты.
- У параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
- Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
- Три ребра, выходящие из одной вершины, называются измерениями: длина, ширина, высота.
- Развёртка — это плоская фигура, из которой можно сложить объёмную фигуру без наложений и разрывов.
- У куба все грани — равные квадраты, поэтому его развёртка состоит из шести одинаковых квадратов.
Определения
- Прямоугольный параллелепипед
- Объёмная фигура, у которой 6 граней, и все они — прямоугольники.
- Куб
- Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, а все грани — квадраты.
- Грань
- Плоская поверхность (прямоугольник или квадрат), которая ограничивает параллелепипед.
- Ребро
- Отрезок, по которому пересекаются две соседние грани.
- Вершина
- Точка, в которой сходятся три ребра параллелепипеда.
- Развёртка
- Плоская фигура, полученная разрезанием поверхности объёмной фигуры по рёбрам и разложенная на плоскости.
Ключевые факты и правила
- У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин.
- Противоположные грани параллелепипеда равны (одинаковые прямоугольники).
- Три измерения параллелепипеда — длина, ширина, высота — это рёбра, выходящие из одной вершины.
- Куб — это параллелепипед, у которого длина = ширина = высота.
- Развёртка куба состоит из 6 одинаковых квадратов, соединённых сторонами.
- Существует 11 различных развёрток куба (все они состоят из 6 квадратов).
Теория
Сначала знакомимся с объёмной фигурой: рассматриваем модель параллелепипеда (например, коробку) и считаем грани, рёбра, вершины.
Затем выделяем измерения: длина, ширина, высота — это рёбра, выходящие из одной вершины.
Учимся различать куб как частный случай, когда все измерения равны.
Переходим к развёртке: представляем, что разрезали коробку по рёбрам и разложили на стол — получилась плоская фигура.
Учимся по развёртке мысленно складывать фигуру, определяя, какие грани станут противоположными.
Примеры
- Пример 1случай
- Коробка из-под обуви — прямоугольный параллелепипед: её дно и крышка — равные прямоугольники, боковые стороны — тоже прямоугольники
- Пример 2случай
Комната — это прямоугольный параллелепипед
Пояснение
- пол и потолок — равные прямоугольники, стены — тоже прямоугольники
- Пример 3случай
Игральный кубик — это куб
Пояснение
- все его грани — равные квадраты
- Пример 4случай
Развёртка куба — это крест из шести квадратов
Пояснение
- если его сложить по линиям, получится кубик
Интересно знать
- Спичечный коробок — это почти идеальный прямоугольный параллелепипед, только у него скруглённые углы.
- Кубик Рубика — это настоящий куб, состоящий из 26 маленьких кубиков (центральные не видны).
- Развёртку куба можно нарисовать 11 разными способами — это доказали математики ещё в прошлом веке.
Связанные темы
- Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
- Объём прямоугольного параллелепипеда
- Периметр и площадь прямоугольника