Математика · 5 класс · Математика ФГОС · урок 157 · только теория
Объём куба, прямоугольного параллелепипеда
Эта тема знакомит с понятием объёма как свойства тела занимать часть пространства. Мы научимся вычислять объём прямоугольного параллелепипеда и куба по простым формулам, используя измерения фигур. Понимание объёма помогает в жизни: от расчёта вместимости коробок и аквариумов до строительства и перевозки грузов.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, что такое объём, и вычислять объём прямоугольного параллелепипеда и куба по формулам.
Зачем это нужно
Объём нужен везде, где что-то заполняет пространство: при покупке коробки, расчёте количества жидкости в аквариуме, определении вместимости кузова или комнаты. Без умения считать объём невозможно проектировать здания, создавать упаковку или планировать переезд.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Объём — это величина, показывающая, сколько места занимает тело в пространстве.
- Объём измеряется в кубических единицах: кубических сантиметрах, дециметрах, метрах и т.д.
- Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
- Куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все рёбра равны.
- Объём куба равен кубу его ребра (длины стороны).
- Чтобы вычислить объём, нужно все измерения выразить в одинаковых единицах длины.
- Если тело составлено из нескольких частей, его общий объём равен сумме объёмов этих частей.
Определения
- Объём
- Число, показывающее, сколько кубических единиц (кубиков со стороной 1) помещается внутри фигуры.
- Прямоугольный параллелепипед
- Объёмная фигура, у которой все грани — прямоугольники, а противоположные грани равны. Похожа на коробку.
- Куб
- Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, а все грани — одинаковые квадраты.
- Измерения параллелепипеда
- Длина, ширина и высота — три ребра, выходящие из одной вершины. Обычно обозначаются a, b, c.
- Кубический сантиметр
- Объём куба с ребром 1 см. Обозначается см³.
Ключевые факты и правила
- Формула объёма прямоугольного параллелепипеда: V = a × b × c, где a — длина, b — ширина, c — высота.
- Формула объёма куба: V = a × a × a = a³, где a — ребро куба.
- 1 дм³ = 1000 см³, 1 м³ = 1000 дм³ = 1 000 000 см³.
- Если измерения даны в разных единицах (например, см и м), сначала переводим их в одну единицу, а затем умножаем.
- Объём прямоугольного параллелепипеда можно также найти как произведение площади основания на высоту: V = S_осн × h.
- Куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³; куб с ребром 1 дм — 1 дм³; куб с ребром 1 м — 1 м³.
Теория
Вспомним, что такое прямоугольный параллелепипед: это коробка, у которой все углы прямые, а грани — прямоугольники.
Поймём, что объём — это количество кубиков с ребром 1, которые помещаются внутрь фигуры.
Выведем формулу: чтобы заполнить параллелепипед кубиками, нужно умножить длину на ширину (получим количество кубиков на дне) и на высоту (сколько слоёв).
Для куба, где все рёбра равны, формула упрощается: V = a³.
Научимся подставлять числа в формулы и не забывать про единицы измерения (см³, м³ и т.д.).
Примеры
- Пример 1расчёт
- Если аквариум имеет длину 50 см, ширину 30 см и высоту 40 см
- то его объём равен 50 × 30 × 40 = 60 000 см³, то есть 60 литров
- Пример 2расчёт
Коробка для обуви
Решение
- длина 30 см, ширина 20 см, высота 10 см — объём 30 × 20 × 10 = 6000 см³
- Пример 3случай
- Кубик Рубика с ребром 5 см имеет объём 5 × 5 × 5 = 125 см³
- Пример 4расчёт
Комната в форме прямоугольного параллелепипеда
Решение
- длина 4 м, ширина 3 м, высота 2,5 м — объём 4 × 3 × 2,5 = 30 м³
Интересно знать
- В 1 литре ровно 1000 кубических сантиметров, поэтому литр — это то же самое, что 1 кубический дециметр.
- Самый большой куб в мире — кубический контейнер для перевозки грузов, его объём может достигать 100 м³.
- Древние египтяне использовали понятие объёма при строительстве пирамид, чтобы рассчитывать количество каменных блоков.
Связанные темы
- Площадь прямоугольника и квадрата
- Единицы измерения длины и площади
- Объём прямоугольного параллелепипеда (урок 156)
- Решение задач на объём