Математика · 5 класс · Математика ФГОС · урок 20 · только теория
Свойства нуля при сложении и умножении, свойства единицы при умножении
Эта тема — про особые числа 0 и 1, которые ведут себя не как все. Мы узнаем, что при сложении с нулём число не меняется, а при умножении на ноль всегда получается ноль. Единица при умножении тоже ничего не меняет, а вот при сложении она работает как обычное число.
Чему учимся понимать
Научиться понимать и применять свойства нуля и единицы при сложении и умножении, чтобы быстро и правильно считать.
Зачем это нужно
Эти свойства — фундамент всей математики. Они помогают упрощать вычисления, решать уравнения и понимать, как устроены числа. В жизни мы постоянно сталкиваемся с нулём (например, когда что-то заканчивается) и единицей (когда что-то одно), и знание их свойств делает счёт лёгким и понятным.
Опорные понятия
Главные тезисы
- При сложении любого числа с нулём получается то же самое число: a + 0 = a.
- При умножении любого числа на ноль всегда получается ноль: a · 0 = 0.
- При умножении любого числа на единицу получается то же самое число: a · 1 = a.
- Ноль — это число, которое ничего не добавляет при сложении и всё превращает в ноль при умножении.
- Единица — это число, которое не изменяет число при умножении.
- Свойства нуля и единицы работают для любых чисел: натуральных, дробных, отрицательных (в старших классах).
- Эти свойства можно использовать для упрощения вычислений и проверки результатов.
Определения
- Ноль
- Число, которое обозначает отсутствие предметов или количества. При сложении с любым числом оно не меняет его.
- Единица
- Наименьшее натуральное число, обозначающее один предмет. При умножении на любое число оно не меняет его.
- Свойство нуля при сложении
- Если к любому числу прибавить ноль, то получится то же самое число.
- Свойство нуля при умножении
- Если любое число умножить на ноль, то получится ноль.
- Свойство единицы при умножении
- Если любое число умножить на единицу, то получится то же самое число.
Ключевые факты и правила
- a + 0 = a — прибавление нуля не меняет число.
- a · 0 = 0 — умножение на ноль всегда даёт ноль.
- a · 1 = a — умножение на единицу не меняет число.
- 0 + a = a — перестановка слагаемых не влияет на результат (переместительное свойство сложения).
- 1 · a = a — перестановка множителей не влияет на результат (переместительное свойство умножения).
- Ноль — это чётное число.
- На ноль делить нельзя! Это отдельное правило, которое нужно запомнить.
Теория
Вспомни, что такое сложение и умножение: сложение — это объединение групп, умножение — это повторение группы несколько раз.
Понаблюдай, что происходит, когда к числу прибавляют ноль: число не изменяется, потому что ноль — это «ничего».
Понаблюдай, что происходит, когда число умножают на ноль: получается ноль, потому что мы берём группу «ноль раз».
Понаблюдай, что происходит, когда число умножают на единицу: число не изменяется, потому что мы берём группу один раз.
Запомни эти правила как аксиомы — они работают всегда и для любых чисел.
Применяй эти свойства для упрощения выражений и проверки вычислений.
Примеры
- Пример 1расчёт
- Если у тебя было 5 яблок, и тебе дали ещё 0 яблок
- то у тебя так и останется 5 яблок: 5 + 0 = 5
- Пример 2расчёт
- Если в коробке 3 ряда по 0 конфет в каждом
- то всего конфет 0: 3 · 0 = 0
- Пример 3расчёт
- Если ты купил 1 упаковку из 10 тетрадей
- то у тебя 10 тетрадей: 10 · 1 = 10
- Пример 4случай
- Например, 0 + 7 = 7, 0 · 7 = 0, 7 · 1 = 7
Интересно знать
- В Древнем Вавилоне ноль обозначали специальным значком-разделителем, но не считали его числом. Только в Древней Индии ноль стали использовать как полноценное число.
- Слово «ноль» происходит от латинского «nullus», что значит «никакой».
- Единица — это единственное число, которое при умножении на само себя даёт само себя: 1 · 1 = 1.
Связанные темы
- Натуральные числа и действия с ними
- Сложение и вычитание натуральных чисел
- Умножение и деление натуральных чисел
- Числовые выражения и порядок действий