Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения

Научиться понимать и применять свойства сложения и умножения для упрощения вычислений.

Эти свойства позволяют считать в уме быстрее, упрощать выражения и решать задачи легче. Они используются в жизни при подсчёте покупок, времени, расстояний, а также являются фундаментом для изучения алгебры в старших классах.

• Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
• Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.
• Сочетательное свойство сложения: чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом второе.
• Сочетательное свойство умножения: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить на первый множитель, а потом на второй.
• Распределительное свойство умножения относительно сложения: умножение числа на сумму можно заменить суммой произведений этого числа на каждое слагаемое.
• Распределительное свойство умножения относительно вычитания: умножение числа на разность можно заменить разностью произведений.
• Эти свойства позволяют выбирать удобный порядок действий при вычислениях.

Переместительное свойство сложения

Если поменять местами слагаемые, сумма не изменится: a + b = b + a.

Переместительное свойство умножения

Если поменять местами множители, произведение не изменится: a * b = b * a.

Сочетательное свойство сложения

Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а затем к результату прибавить второе: (a + b) + c = a + (b + c).

Сочетательное свойство умножения

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а затем результат умножить на второй: (a * b) * c = a * (b * c).

Распределительное свойство умножения

Чтобы умножить число на сумму (или разность), можно умножить это число на каждое слагаемое (уменьшаемое и вычитаемое) и результаты сложить (или вычесть): a * (b + c) = a * b + a * c; a * (b - c) = a * b - a * c.

• Переместительное свойство сложения: a + b = b + a.
• Переместительное свойство умножения: a * b = b * a.
• Сочетательное свойство сложения: (a + b) + c = a + (b + c).
• Сочетательное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c).
• Распределительное свойство умножения относительно сложения: a * (b + c) = a * b + a * c.
• Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a * (b - c) = a * b - a * c.
• Эти свойства верны для любых чисел: натуральных, дробных и т.д.

1. Пример 1расчёт

   Переместительное свойство сложения

   Решение

   • 17 + 45 = 45 + 17 = 62
2. Пример 2расчёт

   Сочетательное свойство умножения

   Решение

   • 25 * 13 * 4 = (25 * 4) * 13 = 100 * 13 = 1300
   • Здесь мы переставили и сгруппировали множители, чтобы получить круглое число
3. Пример 3расчёт

   Распределительное свойство

   Решение

   • 7 * 99 = 7 * (100 - 1) = 7 * 100 - 7 * 1 = 700 - 7 = 693
   • Это удобнее, чем умножать 7 на 99 в столбик
4. Пример 4расчёт

   В жизни

   Решение

   • если нужно купить 3 ручки по 15 рублей и 3 тетради по 25 рублей, можно посчитать двумя способами: (15 + 25) * 3 = 40 * 3 = 120 или 15 * 3 + 25 * 3 = 45 + 75 = 120
   • Результат одинаковый

• Переместительное свойство сложения было известно ещё древним египтянам и вавилонянам более 4000 лет назад.
• Распределительное свойство умножения лежит в основе умножения в столбик, которым мы пользуемся каждый день.
• В алгебре эти свойства позволяют преобразовывать выражения, например, раскрывать скобки, что является основой для решения уравнений.

• Числовые выражения и порядок действий
• Уравнения
• Упрощение выражений
• Алгебраические выражения