Делители и кратные числа, разложение числа на множители

Научиться находить делители и кратные чисел, а также раскладывать числа на простые множители.

Понимание делителей и кратных помогает в повседневной жизни: делить поровну, рассчитывать время, работать с деньгами. В математике это основа для изучения дробей, нахождения общего знаменателя, решения уравнений и многих других тем.

• Делителем натурального числа a называется натуральное число, на которое a делится без остатка.
• Кратным натуральному числу a называется натуральное число, которое делится на a без остатка.
• Любое натуральное число имеет хотя бы два делителя: 1 и само себя.
• Число 1 не является ни простым, ни составным, так как имеет только один делитель.
• Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел.
• Разложение на простые множители единственно (порядок множителей не учитывается).
• Признаки делимости помогают быстро определять, делится ли число на 2, 3, 5, 9, 10 без выполнения деления.

Делитель

Это число, на которое данное число делится без остатка. Например, для числа 12 делителями являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Кратное

Это число, которое делится на данное число без остатка. Например, числа 12, 24, 36 являются кратными числу 12.

Простое число

Натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя: 1 и само себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11.

Составное число

Натуральное число, которое имеет более двух делителей. Например, 4, 6, 8, 9, 12.

Разложение на множители

Представление числа в виде произведения двух или более чисел. Например, 12 = 2 × 6 или 12 = 3 × 4.

Простые множители

Множители, которые являются простыми числами. Например, разложение числа 18 на простые множители: 18 = 2 × 3 × 3.

• Наименьший делитель любого натурального числа — 1, а наибольший — само число.
• Кратных у числа бесконечно много, а делителей — конечное число.
• Число 1 — особое: оно не является ни простым, ни составным.
• Любое составное число можно разложить на простые множители, и такое разложение единственно (основная теорема арифметики).
• Признаки делимости: на 2 делятся четные числа, на 3 — если сумма цифр делится на 3, на 5 — если число оканчивается на 0 или 5, на 9 — если сумма цифр делится на 9, на 10 — если число оканчивается на 0.
• При разложении на простые множители обычно используют запись в столбик или «дерево».

1. Пример 1случай

   Чтобы разделить 12 яблок поровну между 3 друзьями, нужно знать, что 3

   Пояснение

   • делитель 12, значит, каждый получит по 4 яблока
2. Пример 2случай
   • Если автобус отправляется каждые 15 минут, то время отправления (например, 10:00, 10:15, 10:30) — это числа, кратные 15
3. Пример 3расчёт

   Разложение числа 60 на простые множители

   Решение

   • 60 = 2 × 2 × 3 × 5
   • Это помогает понять, что 60 делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60

• Число 2 — единственное чётное простое число. Все остальные простые числа нечётные.
• Простые числа изучали ещё древние греки, а Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много.
• Самые большие известные простые числа используются в криптографии для защиты информации в интернете.

• Признаки делимости
• Наибольший общий делитель (НОД)
• Наименьшее общее кратное (НОК)
• Обыкновенные дроби