Математика · 5 класс · Математика ФГОС · урок 30 · только теория
Простые и составные числа
Эта тема знакомит с важнейшей классификацией натуральных чисел: простыми и составными. Мы научимся отличать их друг от друга и поймём, почему простые числа называют «кирпичиками» всех остальных чисел.
Чему учимся понимать
Научиться распознавать простые и составные числа и понимать их роль в математике.
Зачем это нужно
Простые числа лежат в основе всей арифметики: любое число можно разложить на простые множители. Это используется в криптографии (шифровании данных), в поиске больших чисел и в решении многих практических задач.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два различных делителя: 1 и само себя.
- Натуральное число называется составным, если оно имеет больше двух делителей.
- Число 1 не является ни простым, ни составным, так как у него только один делитель.
- Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел (основная теорема арифметики).
- Простых чисел бесконечно много (доказано Евклидом).
- Наименьшее простое число — 2, это единственное чётное простое число.
- Все остальные простые числа — нечётные.
Определения
- Простое число
- Натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя: единицу и само себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11.
- Составное число
- Натуральное число, которое имеет больше двух делителей. Например, 4 (делители 1, 2, 4), 6 (1, 2, 3, 6).
- Делитель числа
- Натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, для числа 12 делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Разложение на простые множители
- Представление составного числа в виде произведения простых чисел. Например, 12 = 2 × 2 × 3.
Ключевые факты и правила
- Число 2 — единственное чётное простое число, потому что любое другое чётное число делится на 2 и имеет больше двух делителей.
- Число 1 не является ни простым, ни составным, так как у него только один делитель.
- Любое составное число можно разложить на простые множители единственным способом (с точностью до порядка множителей).
- Простых чисел бесконечно много — это доказал древнегреческий математик Евклид.
- Наименьшее простое число — 2, а наибольшего простого числа не существует.
Теория
Вспомним, что такое делитель числа: это число, на которое данное делится без остатка.
Посчитаем количество делителей у натурального числа.
Если делителей ровно два (1 и само число) — число простое.
Если делителей больше двух — число составное.
Особый случай: число 1 имеет один делитель, поэтому оно не относится ни к простым, ни к составным.
Примеры
- Пример 1случай
Число 7
Пояснение
- простое, потому что делится только на 1 и на 7
- Пример 2случай
Число 10
Пояснение
- составное, потому что делится на 1, 2, 5 и 10
- Пример 3случай
Число 2
Пояснение
- простое, хотя оно чётное
- Это единственное чётное простое число
- Пример 4случай
Число 1 — особое
Пояснение
- у него только один делитель, поэтому оно не считается ни простым, ни составным
Интересно знать
- Самое большое известное простое число (на 2024 год) содержит более 24 миллионов цифр! Его нашли в 2018 году в рамках проекта GIMPS.
- Простые числа используются в современной криптографии: чтобы зашифровать сообщение, берут произведение двух очень больших простых чисел, а расшифровать без знания этих чисел практически невозможно.
Связанные темы
- Делители и кратные
- Признаки делимости
- Разложение на простые множители
- Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное