Математика · 5 класс · Математика ФГОС · урок 32 · только теория
Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9
Эта тема — про быстрые способы узнать, делится ли одно число на другое, не выполняя деления. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 — это простые правила, которые помогают мгновенно определять делимость по последней цифре или сумме цифр. Они экономят время при вычислениях и лежат в основе многих математических рассуждений.
Чему учимся понимать
Научиться быстро определять, делится ли число на 2, 5, 10, 3 или 9, глядя на его запись.
Зачем это нужно
В жизни признаки делимости помогают быстро делить поровну, проверять сдачу, раскладывать числа на множители. В науке они используются для упрощения вычислений, проверки результатов и в теории чисел.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, делится ли число на данное число, без выполнения самого деления.
- Признаки делимости на 2, 5 и 10 основаны на последней цифре числа.
- Признаки делимости на 3 и 9 основаны на сумме цифр числа.
- Если число делится на 9, то оно обязательно делится и на 3, но не наоборот.
- Число, которое делится на 2, называется чётным, а которое не делится — нечётным.
- Признаки делимости помогают раскладывать числа на множители и сокращать дроби.
- Знание признаков делимости ускоряет устные вычисления и проверку результатов.
Определения
- Делимость
- Свойство числа a делиться на число b без остатка, то есть существует такое целое число k, что a = b * k.
- Делитель
- Число, на которое данное число делится без остатка. Например, для числа 12 делителями являются 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Кратное
- Число, которое делится на данное число без остатка. Например, числа 12, 24, 36 — кратные числу 12.
- Чётное число
- Число, которое делится на 2 без остатка. Чётные числа заканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8.
- Нечётное число
- Число, которое не делится на 2 без остатка. Нечётные числа заканчиваются на 1, 3, 5, 7 или 9.
- Сумма цифр
- Результат сложения всех цифр, из которых состоит число. Например, для числа 345 сумма цифр равна 3 + 4 + 5 = 12.
Ключевые факты и правила
- Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
- Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
- Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра 0.
- Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
- Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
- Если число делится на 9, то оно делится и на 3, так как 9 кратно 3.
- Число, оканчивающееся на 0, делится и на 2, и на 5, и на 10.
Теория
Сначала научись определять делимость на 2, 5 и 10 по последней цифре числа.
Затем перейди к признакам делимости на 3 и 9, которые требуют вычисления суммы цифр.
Пойми, что признаки делимости — это не магия, а следствие свойств десятичной записи числа.
Потренируйся применять признаки к разным числам, чтобы запомнить их.
Используй признаки для разложения чисел на множители и сокращения дробей.
Примеры
- Пример 1случай
- Число 2468 делится на 2, потому что заканчивается на 8 (чётная цифра)
- Пример 2случай
- Число 1235 делится на 5, потому что заканчивается на 5
- Пример 3случай
- Число 700 делится на 10, потому что заканчивается на 0
- Пример 4расчёт
- Число 123456 делится на 3
- так как сумма его цифр 1+2+3+4+5+6=21, а 21 делится на 3
- Пример 5расчёт
- Число 987654321 делится на 9
- так как сумма его цифр 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45, а 45 делится на 9
Интересно знать
- Признак делимости на 3 был известен ещё в Древней Индии и описан в математических трактатах более 1500 лет назад.
- Число 0 считается чётным, поэтому оно делится на 2, а также на 5 и 10.
- С помощью признаков делимости можно быстро проверить, является ли число простым: достаточно проверить делимость на простые числа до его квадратного корня.
Связанные темы
- Делители и кратные
- Простые и составные числа
- Разложение числа на простые множители
- Сокращение дробей
- Признаки делимости на 4, 6, 8, 11