Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Научиться правильно складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми и разными знаменателями.

Сложение и вычитание дробей — это основа для решения задач с долями, пропорциями и процентами. В жизни мы постоянно складываем части: например, съели 1/4 пиццы и ещё 1/4, или прошли 1/3 дороги и ещё 1/6. Без этого умения невозможно понять, как делить целое на части и считать итог.

• Дробь — это число, которое показывает часть целого. Знаменатель говорит, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли.
• Складывать и вычитать дроби можно только тогда, когда у них одинаковые знаменатели.
• При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остаётся прежним.
• При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель остаётся прежним.
• Если знаменатели разные, дроби нужно привести к общему знаменателю, найдя дополнительные множители.
• Общий знаменатель — это число, которое делится на каждый из знаменателей. Обычно используют наименьший общий знаменатель.
• После сложения или вычитания результат можно сократить, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.
• Если при сложении получилась неправильная дробь, её можно перевести в смешанное число (выделить целую часть).

Обыкновенная дробь

Число, записанное как a/b, где a — числитель (сколько частей взяли), b — знаменатель (на сколько равных частей разделили целое).

Числитель

Число над чертой дроби, показывающее, сколько частей целого взято.

Знаменатель

Число под чертой дроби, показывающее, на сколько равных частей разделено целое.

Общий знаменатель

Число, которое является знаменателем для обеих дробей после приведения. Оно должно делиться на каждый из исходных знаменателей.

Дополнительный множитель

Число, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель (общий).

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на одно и то же число, чтобы дробь стала проще, но её значение не изменилось.

Неправильная дробь

Дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, 7/5). Она означает больше одного целого.

Смешанное число

Число, которое состоит из целой части и правильной дроби (например, 1 2/5).

• Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: a/b + c/b = (a+c)/b. Например, 2/7 + 3/7 = 5/7.
• Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: a/b - c/b = (a-c)/b. Например, 5/9 - 2/9 = 3/9 = 1/3.
• Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Например, для 2 и 3 НОК = 6.
• Дополнительный множитель для каждой дроби находится так: общий знаменатель делится на знаменатель этой дроби. Например, для 1/2 и 1/3 общий знаменатель 6, дополнительный множитель для 1/2 — 3, для 1/3 — 2.
• При сложении дробей с разными знаменателями: сначала приводим к общему знаменателю, затем складываем числители, знаменатель оставляем.
• Если после сложения или вычитания дробь можно сократить, её сокращают. Например, 4/8 = 1/2.
• Если при сложении получилась неправильная дробь, её можно перевести в смешанное число: например, 7/5 = 1 2/5.
• Сложение и вычитание смешанных чисел можно выполнять по частям: сначала целые, потом дробные, но если дробная часть уменьшаемого меньше, нужно занять единицу.

1. Пример 1расчёт
   • Если съели 1/4 пиццы, а потом ещё 2/4
   • то всего съели 3/4 пиццы (1/4 + 2/4 = 3/4)
2. Пример 2расчёт
   • В классе 30 учеников. 1/3 класса — девочки, а 1/6 — мальчики. Чтобы узнать, сколько всего детей занимаются спортом
   • нужно сложить 1/3 и 1/6. Приводим к общему знаменателю 6: 1/3 = 2/6
   • значит 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 класса
3. Пример 3расчёт
   • Если вы прошли 2/5 дороги, а потом ещё 1/5
   • то всего прошли 3/5 дороги. Осталось пройти 2/5 (5/5 - 3/5 = 2/5)
4. Пример 4расчёт

   При вычитании

   Решение

   • если в баке было 7/8 литра воды, а вылили 3/8, осталось 4/8 = 1/2 литра

• Дроби использовали ещё древние египтяне более 4000 лет назад, но они записывали только дроби с числителем 1, например 1/2, 1/3, 1/4.
• Слово «дробь» в русском языке происходит от глагола «дробить», то есть делить на части. В старых учебниках дроби называли «ломаными числами».
• В Древнем Вавилоне использовали дроби со знаменателем 60, поэтому до сих пор в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд.

• Сравнение обыкновенных дробей
• Сокращение дробей
• Приведение дробей к общему знаменателю
• Смешанные числа
• Сложение и вычитание смешанных чисел