Умножение и деление обыкновенных дробей; взаимнообратные дроби

Научиться понимать и применять правила умножения и деления обыкновенных дробей, а также находить взаимно обратные дроби.

Умножение и деление дробей нужны в повседневной жизни: чтобы уменьшить или увеличить порцию в рецепте, рассчитать площадь части участка, поделить что-то на несколько частей. В науке и технике без этих операций не обойтись, например, при расчёте скоростей или концентраций.

• Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели.
• Произведение дробей — это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.
• Деление на дробь заменяется умножением на дробь, обратную делителю.
• Взаимно обратные дроби — это две дроби, произведение которых равно 1.
• Чтобы найти дробь, обратную данной, нужно поменять местами числитель и знаменатель.
• При умножении и делении дробей можно сокращать числители и знаменатели до выполнения действий, чтобы упростить вычисления.
• Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1, что позволяет умножать и делить дроби на целые числа.

Умножение дробей

Действие, при котором находят дробь, равную произведению двух других дробей. Например, 2/3 умножить на 3/4 — значит найти, какая часть от целого получится.

Деление дробей

Действие, обратное умножению: найти дробь, которая при умножении на делитель даёт делимое.

Взаимно обратные дроби

Две дроби, произведение которых равно 1. Например, 2/3 и 3/2 — взаимно обратные, потому что 2/3 × 3/2 = 1.

Дробь, обратная данной

Дробь, полученная из данной перестановкой числителя и знаменателя. Например, для 5/7 обратная дробь — 7/5.

• Правило умножения: a/b × c/d = (a×c)/(b×d). Например, 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15.
• Правило деления: a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Например, 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6.
• Произведение взаимно обратных дробей всегда равно 1: (a/b) × (b/a) = 1.
• Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель, их можно сократить до или после умножения, чтобы получить более простую дробь.
• Любое целое число n можно записать как n/1, поэтому умножение дроби на целое число выполняется по правилу: a/b × n = (a×n)/b.
• При делении дроби на целое число n, её знаменатель умножается на n: a/b ÷ n = a/(b×n).

1. Пример 1расчёт

   Рецепт

   Решение

   • если для пирога нужно 2/3 стакана муки, а вы хотите приготовить половину порции, то нужно умножить 2/3 на 1/2
   • Получится (2×1)/(3×2) = 2/6 = 1/3 стакана муки
2. Пример 2расчёт
   • Если вы пробежали 3/4 дистанции, а затем ещё 1/2 от оставшейся части
   • то общая пройденная часть равна 3/4 + (1/4 × 1/2) = 3/4 + 1/8 = 7/8
3. Пример 3расчёт

   Разделить 3/4 пиццы между двумя друзьями

   Решение

   • значит разделить 3/4 на 2: 3/4 ÷ 2 = 3/(4×2) = 3/8
   • Каждый получит 3/8 пиццы
4. Пример 4расчёт
   • Если скорость автомобиля 2/3 км/мин
   • то за 3/4 минуты он проедет (2/3) × (3/4) = 6/12 = 1/2 км

• Взаимно обратные дроби иногда называют «перевёрнутыми», потому что они получаются перестановкой числителя и знаменателя.
• Если дробь умножить на обратную ей, всегда получится 1 — это свойство используется для проверки правильности вычислений.
• В древнем Египте дроби записывались только как суммы долей (например, 1/2 + 1/4), и умножение таких дробей было очень сложным. Современные правила умножения дробей появились в Европе в XVI веке.

• Сложение и вычитание обыкновенных дробей
• Сокращение дробей
• Нахождение части от числа
• Деление и умножение смешанных чисел