Математика · 6 класс · Математика ФГОС · урок 1 · только теория
Арифметические действия с многозначными натуральными числами
Мы вспоминаем и систематизируем правила выполнения арифметических действий с многозначными натуральными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Эта тема — фундамент для всех дальнейших вычислений, поэтому важно уверенно владеть алгоритмами действий в столбик и понимать свойства чисел.
Чему учимся понимать
Научиться правильно и быстро выполнять сложение, вычитание, умножение и деление любых многозначных натуральных чисел, используя письменные алгоритмы.
Зачем это нужно
Умение считать многозначные числа нужно в повседневной жизни: посчитать сдачу в магазине, площадь комнаты, расходы за месяц, количество километров в путешествии. Без этого невозможно изучать дроби, проценты, уравнения и другие темы математики.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Натуральные числа — это числа, которые используются для счёта предметов: 1, 2, 3, ... (ноль не является натуральным).
- Многозначные числа состоят из разрядов (единицы, десятки, сотни и т.д.), объединённых в классы (единицы, тысячи, миллионы и т.д.).
- Сложение и вычитание многозначных чисел выполняются поразрядно, начиная с единиц, с учётом перехода через разряд.
- Умножение многозначного числа на однозначное выполняется поразрядно, начиная с единиц, с записью результата в соответствующие разряды.
- Умножение многозначных чисел сводится к умножению на каждый разряд второго множителя и последующему сложению полученных произведений.
- Деление многозначных чисел выполняется подбором цифр частного, начиная со старших разрядов, с проверкой остатка.
- Свойства арифметических действий (переместительное, сочетательное, распределительное) позволяют упрощать вычисления.
- Порядок действий в выражениях: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
Определения
- Натуральное число
- Число, которое получается при счёте предметов (например, 1, 2, 3, 100, 5678). Ноль не считается натуральным числом.
- Разряд
- Место цифры в записи числа. Справа налево идут разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее.
- Класс
- Группа из трёх разрядов: класс единиц (единицы, десятки, сотни), класс тысяч (тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч), класс миллионов и так далее.
- Сложение
- Арифметическое действие, которое позволяет найти сумму двух или нескольких чисел. Результат называется суммой.
- Вычитание
- Арифметическое действие, обратное сложению: по сумме и одному слагаемому находят другое слагаемое. Результат называется разностью.
- Умножение
- Арифметическое действие, которое заменяет сложение одинаковых слагаемых. Например, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. Результат называется произведением.
- Деление
- Арифметическое действие, обратное умножению: по произведению и одному множителю находят другой множитель. Результат называется частным.
Ключевые факты и правила
- При сложении в столбик: складываем единицы, если получилось 10 и более, то пишем единицы, а десяток переносим в следующий разряд.
- При вычитании в столбик: если в разряде не хватает единиц, занимаем 1 из старшего разряда (это 10 единиц текущего разряда).
- Умножение на 10, 100, 1000 и т.д.: просто приписываем к числу столько нулей, сколько их во множителе (например, 25 × 100 = 2500).
- Деление на 10, 100, 1000 и т.д.: отбрасываем столько последних цифр, сколько нулей в делителе (например, 3500 : 100 = 35).
- Переместительное свойство: a + b = b + a, a × b = b × a.
- Сочетательное свойство: (a + b) + c = a + (b + c), (a × b) × c = a × (b × c).
- Распределительное свойство: a × (b + c) = a × b + a × c.
- Порядок действий: сначала скобки, затем умножение и деление (слева направо), потом сложение и вычитание (слева направо).
Теория
Вспомни, как устроено натуральное число: разряды и классы, чтобы правильно записывать числа в столбик.
Повтори алгоритм сложения и вычитания в столбик: начинай с единиц, учитывай переход через разряд.
Разбери умножение: сначала умножение на однозначное число, затем на многозначное (по разрядам).
Освой деление: подбор цифры частного, умножение, вычитание, проверка остатка.
Изучи свойства действий, чтобы упрощать вычисления и проверять результаты.
Потренируйся соблюдать порядок действий в выражениях со скобками.
Примеры
- Пример 1расчёт
Сложение
Решение
- 3456 + 2789 = 6245. Складываем единицы: 6+9=15, пишем 5, один десяток переносим
- десятки: 5+8+1=14, пишем 4, переносим 1
- сотни: 4+7+1=12, пишем 2, переносим 1
- тысячи: 3+2+1=6
- Пример 2расчёт
Вычитание
Решение
- 8000 - 3456 = 4544
- Занимаем из разряда тысяч, превращая 8000 в 7 тысяч и 10 сотен, и так далее
- Пример 3расчёт
Умножение
Решение
- 123 × 45 = 123 × 5 + 123 × 40 = 615 + 4920 = 5535
- Пример 4расчёт
Деление
Решение
- 952 : 7 = 136, потому что 7 × 136 = 952
- Пример 5расчёт
В жизни
Решение
- если нужно посчитать, сколько стоят 3 килограмма яблок по 120 рублей за килограмм, умножаем 120 × 3 = 360 рублей
Интересно знать
- Самые большие числа, которые используются в науке, — это числа с миллионами цифр, например, число Грэма, но в школе мы работаем с числами, которые помещаются в несколько строк.
- В Древнем Риме не было нуля, и считать большие числа было очень неудобно, поэтому римские цифры почти не использовались для вычислений.
- Умножение в столбик придумали в Древней Индии, а в Европу оно попало через арабских математиков, поэтому его иногда называют «арабским умножением».
Связанные темы
- Делители и кратные числа
- Признаки делимости
- Обыкновенные дроби
- Десятичные дроби
- Проценты