Числовые выражения, порядок действий, использование скобок

Научиться понимать и применять правила порядка выполнения арифметических действий в числовых выражениях, включая выражения со скобками.

Правильный порядок действий — это основа всех вычислений в жизни: от расчета сдачи в магазине и приготовления еды по рецепту до программирования и инженерных расчетов. Без этого правила даже простое выражение 2 + 3 × 4 можно вычислить по-разному, и люди не понимали бы друг друга.

• Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков действий и скобок, которая обозначает некоторое число.
• Значение выражения — это число, которое получается после выполнения всех указанных действий.
• Порядок действий в математике строго определен, чтобы все люди получали одинаковый результат.
• Скобки меняют стандартный порядок действий, указывая, что действие внутри них нужно выполнить в первую очередь.
• В выражениях без скобок сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), а затем — первой ступени (сложение и вычитание).
• Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются действия внутри скобок, а затем остальные действия по правилам.
• Действия внутри скобок выполняются в том же порядке: сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание.
• Выражение может содержать несколько пар скобок, и тогда сначала выполняются действия в самых внутренних скобках.

Числовое выражение

Запись, состоящая из чисел, знаков действий (+, −, ×, :) и скобок, которая обозначает некоторое число. Например, (15 − 7) × 2.

Значение выражения

Число, которое получается после выполнения всех действий в числовом выражении. Например, значение выражения (15 − 7) × 2 равно 16.

Действия первой ступени

Сложение и вычитание. Это действия, которые выполняются после умножения и деления, если нет скобок.

Действия второй ступени

Умножение и деление. Это действия, которые выполняются раньше сложения и вычитания, если нет скобок.

Скобки

Символы ( ), которые показывают, какое действие нужно выполнить в первую очередь, даже если это действие первой ступени.

• Порядок действий в выражении без скобок: сначала умножение и деление (слева направо), затем сложение и вычитание (слева направо).
• Порядок действий в выражении со скобками: сначала выполняются действия внутри скобок, а затем остальные действия по правилам для выражений без скобок.
• Если в выражении несколько скобок, то сначала выполняются действия в самых внутренних скобках, затем во внешних.
• Умножение и деление — действия второй ступени, они «сильнее» сложения и вычитания.
• Сложение и вычитание — действия первой ступени, они выполняются после умножения и деления.
• Выражение может не иметь скобок, но это не отменяет правила порядка действий.

1. Пример 1случай

   В выражении 2 + 3 × 4 сначала умножаем 3 на 4, получаем 12, затем прибавляем 2

   Пояснение

   • итог 14. Если бы мы сложили сначала, получили бы 20, что неверно
2. Пример 2случай

   В выражении (2 + 3) × 4 сначала складываем 2 и 3, получаем 5, затем умножаем на 4

   Пояснение

   • итог 20. Скобки изменили порядок действий
3. Пример 3расчёт
   • В выражении 100 − 5 × 2 + 10 сначала умножаем 5 на 2 (получаем 10)
   • затем слева направо: 100 − 10 = 90
   • и 90 + 10 = 100
4. Пример 4расчёт
   • В выражении 2 × (3 + 4) − 5 сначала выполняем действие в скобках: 3 + 4 = 7
   • затем 2 × 7 = 14
   • и наконец 14 − 5 = 9

• В старину, до появления скобок, математики использовали черту над выражением, чтобы показать, что его нужно вычислить первым. Скобки стали широко использоваться только в XVI веке.
• В некоторых языках программирования порядок действий такой же, как в математике, но программисты часто используют скобки, чтобы сделать код понятнее даже там, где они не обязательны.
• Если бы не было единого правила порядка действий, то даже простые вычисления вроде 2 + 3 × 4 приводили бы к спорам: один получил бы 20, а другой 14.

• Числовые и буквенные выражения
• Уравнения
• Свойства арифметических действий