Числовые промежутки

Научиться понимать, изображать и записывать числовые промежутки (интервалы, отрезки, лучи) на координатной прямой.

Числовые промежутки используются везде, где нужно указать диапазон значений: от температуры воздуха и времени работы магазина до границ измерений в науке и технике. Это язык, на котором математика говорит с реальным миром.

• Числовой промежуток — это множество всех чисел, которые удовлетворяют некоторому неравенству.
• Промежутки удобно изображать на координатной прямой: закрашенная точка означает, что число входит в промежуток, а выколотая — не входит.
• Существуют четыре основных вида промежутков: отрезок, интервал, луч и открытый луч.
• Отрезок включает свои границы, интервал — не включает.
• Луч включает одну границу и уходит в бесконечность, открытый луч — не включает границу.
• Для записи промежутков используют круглые и квадратные скобки: квадратная — граница включена, круглая — не включена.
• Знак бесконечности ∞ всегда записывается с круглой скобкой, так как бесконечность — не число.
• Промежутки помогают решать неравенства и описывать области допустимых значений.

Числовой промежуток

Множество чисел, которые удовлетворяют заданному неравенству, например, все числа больше 2 и меньше 5.

Отрезок

Промежуток, который включает обе свои границы. Например, числа от 2 до 5 включительно.

Интервал

Промежуток, который не включает свои границы. Например, числа больше 2, но меньше 5.

Луч

Промежуток, который начинается с числа (включая его) и уходит в бесконечность. Например, все числа больше или равные 2.

Открытый луч

Промежуток, который начинается с числа (не включая его) и уходит в бесконечность. Например, все числа больше 2.

Граница промежутка

Числа, которые ограничивают промежуток слева и справа. Например, для чисел от 2 до 5 границы — 2 и 5.

• Отрезок [a; b] включает все числа x, такие что a ≤ x ≤ b.
• Интервал (a; b) включает все числа x, такие что a < x < b.
• Луч [a; +∞) включает все числа x, такие что x ≥ a.
• Открытый луч (a; +∞) включает все числа x, такие что x > a.
• В записи промежутков квадратная скобка [ означает, что граница включена, круглая ( — что не включена.
• Бесконечность ∞ всегда записывается с круглой скобкой: (a; +∞) или (-∞; b).
• На координатной прямой закрашенная точка обозначает включённую границу, выколотая — не включённую.
• Луч и открытый луч могут быть направлены влево: (-∞; b] — луч, (-∞; b) — открытый луч.

1. Пример 1случай

   Температура воздуха

   Пояснение

   • «от -5 до +3 градусов» — это отрезок [-5
   • 3], если границы включены
2. Пример 2случай

   Скорость автомобиля в городе

   Пояснение

   • «не более 60 км/ч» — это луч (-∞
   • 60]
3. Пример 3случай

   Возраст для получения паспорта в России

   Пояснение

   • «с 14 лет» — это луч [14
   • +∞)
4. Пример 4случай

   Рост для прохождения в аттракцион

   Пояснение

   • «от 120 до 150 см» — это отрезок [120
   • 150]
5. Пример 5случай

   Скидка в магазине

   Пояснение

   • «при покупке более 1000 рублей» — это открытый луч (1000
   • +∞)

• Числовые промежутки используются в медицине для описания нормальных показателей: например, температура тела человека — это интервал от 36,1 до 37,2 °C.
• В программировании промежутки помогают задавать диапазоны допустимых значений, например, возраст для голосования — от 18 лет и старше (луч [18; +∞)).
• Древние греки не использовали отрицательные числа, поэтому понятие промежутков в современном виде появилось только в 17 веке с развитием координатной прямой.

• Координатная прямая
• Сравнение чисел
• Решение неравенств
• Модуль числа
• Десятичные дроби