Математика · 6 класс · Математика ФГОС · урок 105 · только теория
Положительные и отрицательные числа
Мы знакомимся с числами, которые меньше нуля, и учимся различать их среди других чисел. Эта тема открывает дорогу к пониманию температуры, долгов, глубин и многих других явлений, где нужны противоположные величины.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, что такое положительные и отрицательные числа, как они обозначаются и где встречаются в жизни.
Зачем это нужно
Отрицательные числа нужны, чтобы описывать долги, мороз, глубину, уровень ниже нуля и другие ситуации, где величина может быть меньше нуля. Без них невозможно представить современную науку, экономику и технику.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Числа могут быть больше нуля (положительные), меньше нуля (отрицательные) или равны нулю.
- Положительные числа обычно записывают со знаком «+» или без знака, например, 5 или +5.
- Отрицательные числа всегда записывают со знаком «−», например, −5.
- Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
- На координатной прямой положительные числа расположены справа от нуля, а отрицательные — слева.
- Число, которое отличается от данного только знаком, называется противоположным.
- Модуль числа показывает расстояние от начала отсчёта до точки, соответствующей этому числу, и всегда неотрицателен.
Определения
- Положительные числа
- Числа, которые больше нуля. Они обозначают количество, величину, температуру выше нуля и т.п.
- Отрицательные числа
- Числа, которые меньше нуля. Они обозначают долг, мороз, глубину ниже уровня моря и т.п.
- Координатная прямая
- Прямая, на которой выбрано начало отсчёта (точка 0), единичный отрезок и направление (обычно вправо).
- Координата точки
- Число, которое показывает положение точки на координатной прямой.
- Противоположные числа
- Два числа, которые отличаются только знаком, например, 3 и −3. Они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны.
- Целые числа
- Все натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль.
- Модуль числа
- Расстояние от начала отсчёта до точки, соответствующей числу, на координатной прямой. Обозначается |a|. Модуль всегда неотрицателен.
Ключевые факты и правила
- Положительные числа на координатной прямой расположены справа от нуля, отрицательные — слева.
- Чем больше число, тем правее оно находится на координатной прямой. Например, 5 > 2, а −2 > −5.
- Противоположные числа имеют одинаковый модуль: |−7| = |7| = 7.
- Модуль нуля равен нулю: |0| = 0.
- Сумма противоположных чисел равна нулю: a + (−a) = 0.
- Целые числа включают натуральные числа (1, 2, 3, ...), ноль и отрицательные числа (−1, −2, −3, ...).
Теория
Вспомни, что числа нужны для счёта и измерения. Но есть величины, которые могут быть меньше нуля (долг, мороз, глубина).
Введи знак «−» для чисел меньше нуля, а знак «+» (или отсутствие знака) для чисел больше нуля.
Изобрази числа на координатной прямой: выбери начало отсчёта (0), направление вправо и единичный отрезок.
Пойми, что каждое число имеет противоположное: например, для 4 это −4, они симметричны относительно нуля.
Осознай, что модуль числа — это расстояние до нуля, поэтому он всегда неотрицателен.
Сравнивай числа: больше то, которое правее на координатной прямой. Например, −1 > −3, потому что −1 находится правее.
Примеры
- Пример 1случай
- Температура воздуха зимой может быть −15 °C, а летом +25 °C
- Пример 2случай
- Если у тебя есть 100 рублей, а ты должен другу 150 рублей, то твой баланс можно записать как −50 рублей
- Пример 3случай
- Уровень воды в реке может быть выше или ниже нулевой отметки: +2 метра или −1 метр
- Пример 4случай
- На координатной прямой точка с координатой −3 находится на расстоянии 3 единичных отрезков слева от нуля, а точка с координатой 3 — справа
Интересно знать
- Первыми отрицательные числа стали использовать китайские математики ещё во II веке до нашей эры для расчётов долгов.
- В Европе отрицательные числа долго не признавали, считая их «ложными» и «абсурдными», и только в XVII веке они получили широкое распространение.
- Температура −40 градусов одинакова и по шкале Цельсия, и по шкале Фаренгейта.
Связанные темы
- Сравнение чисел
- Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел
- Умножение и деление положительных и отрицательных чисел
- Координатная плоскость
- Модуль числа