Арифметические действия с положительными и отрицательными числами

Научиться правильно выполнять арифметические действия с положительными и отрицательными числами, понимая правила знаков.

Отрицательные числа нужны для описания долгов, температуры ниже нуля, глубин под водой и многих других реальных ситуаций. Умение с ними работать позволяет решать практические задачи и является основой для алгебры и физики.

• Числа со знаком «плюс» называются положительными, со знаком «минус» — отрицательными.
• Противоположные числа — это числа, которые отличаются только знаком, например, 5 и -5.
• Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на координатной прямой, он всегда неотрицателен.
• Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и поставить общий знак.
• Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем.
• Вычитание числа можно заменить сложением с противоположным ему числом: a - b = a + (-b).
• При умножении или делении двух чисел с одинаковыми знаками результат положительный, с разными — отрицательный.

Положительное число

Число, которое больше нуля. На координатной прямой находится справа от нуля. Обычно записывается со знаком «+» или без знака, например, 7 или +7.

Отрицательное число

Число, которое меньше нуля. На координатной прямой находится слева от нуля. Всегда записывается со знаком «−», например, −5.

Противоположные числа

Два числа, которые отличаются только знаком. Например, 3 и −3. Их сумма всегда равна нулю: 3 + (−3) = 0.

Модуль числа

Расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Модуль всегда положителен или равен нулю. Обозначается |a|. Например, |−4| = 4, |4| = 4.

Сложение чисел с одинаковыми знаками

Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и перед результатом поставить общий знак. Например, (−3) + (−5) = −8.

Сложение чисел с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и перед результатом поставить знак числа с большим модулем. Например, (−7) + 4 = −3.

Вычитание чисел

Вычитание можно заменить сложением с противоположным числом: a − b = a + (−b). Например, 5 − 9 = 5 + (−9) = −4.

Умножение и деление чисел со знаками

При умножении или делении двух чисел с одинаковыми знаками результат положительный, с разными — отрицательный. Например, (−3) × (−4) = 12, (−6) ÷ 2 = −3.

• Сумма противоположных чисел всегда равна нулю: a + (−a) = 0.
• Модуль числа не может быть отрицательным: |a| ≥ 0.
• Правило сложения одинаковых знаков: складываем модули, ставим общий знак.
• Правило сложения разных знаков: вычитаем меньший модуль из большего, ставим знак большего модуля.
• Вычитание — это сложение с противоположным числом: a − b = a + (−b).
• Правило знаков при умножении и делении: «плюс на плюс — плюс, минус на минус — плюс, плюс на минус — минус».
• Ноль не имеет знака: 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• При умножении на ноль результат всегда ноль, при делении на ноль — ошибка (делить на ноль нельзя).

1. Пример 1расчёт

   Температура

   Решение

   • утром было −5°, днём потеплело на 8°
   • Новая температура: −5 + 8 = 3°
2. Пример 2расчёт

   Финансы

   Решение

   • у тебя было 200 рублей, ты купил книгу за 250 рублей
   • Твой баланс: 200 − 250 = −50 рублей (долг)
3. Пример 3расчёт

   Глубина

   Решение

   • уровень воды в реке изменился на −2 метра (спад), затем ещё на −1 метр
   • Итог: −2 + (−1) = −3 метра
4. Пример 4расчёт

   Умножение

   Решение

   • если цена акции падает на 3 рубля каждый день, то через 4 дня изменение будет (−3) × 4 = −12 рублей

• Отрицательные числа долго не признавали в Европе. Их называли «абсурдными» или «ложными», и только в XVII веке они стали общепринятыми.
• В Древнем Китае отрицательные числа обозначали чёрными палочками, а положительные — красными, чтобы различать долги и имущество.
• Температура −40 градусов одинакова и по шкале Цельсия, и по шкале Фаренгейта — это единственная точка, где они совпадают.

• Координатная прямая и модуль числа
• Сравнение чисел
• Рациональные числа
• Решение уравнений с отрицательными числами