Делители и кратные числа; наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Научиться понимать, что такое делитель и кратное, и освоить алгоритмы нахождения НОД и НОК.

Умение находить НОД и НОК нужно для сокращения дробей, решения задач на деление предметов на равные части, а также для понимания ритмических процессов, например, когда два события совпадают по времени.

• Делитель — это число, на которое данное число делится без остатка.
• Кратное — это число, которое делится на данное число без остатка.
• Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это самое большое число, на которое оба числа делятся без остатка.
• Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это самое маленькое число, которое делится на оба этих числа без остатка.
• Чтобы найти НОД, можно разложить числа на простые множители и перемножить общие множители в наименьшей степени.
• Чтобы найти НОК, можно разложить числа на простые множители и перемножить все множители, взяв каждый в наибольшей степени.
• Если числа не имеют общих делителей, кроме 1, они называются взаимно простыми, и их НОД равен 1, а НОК — их произведению.

Делитель

Число, на которое данное число делится без остатка. Например, для числа 12 делителями являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Кратное

Число, которое делится на данное число без остатка. Например, для числа 4 кратными являются 4, 8, 12, 16 и так далее.

Наибольший общий делитель (НОД)

Самое большое натуральное число, на которое делятся без остатка оба (или все) данные числа.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Взаимно простые числа

Числа, у которых нет общих делителей, кроме 1. Например, 8 и 15 — взаимно простые.

• Любое натуральное число имеет хотя бы два делителя: 1 и само себя.
• Кратных у числа бесконечно много, а делителей — конечное число.
• Чтобы найти НОД, нужно разложить числа на простые множители, подчеркнуть общие множители и перемножить их в наименьшей степени.
• Чтобы найти НОК, нужно разложить числа на простые множители, взять каждый множитель в наибольшей степени и перемножить.
• Если одно число делится на другое, то меньшее число является НОД, а большее — НОК.
• Произведение двух чисел равно произведению их НОД и НОК: a × b = НОД(a, b) × НОК(a, b).

1. Пример 1случай
   • Чтобы разделить 12 яблок и 18 апельсинов на одинаковые подарки, нужно найти НОД(12, 18) = 6
   • Тогда получится 6 подарков, в каждом по 2 яблока и 3 апельсина
2. Пример 2расчёт

   Если один автобус приходит на остановку каждые 15 минут, а другой

   Решение

   • каждые 20 минут, то они встретятся на остановке через НОК(15, 20) = 60 минут, то есть через час
3. Пример 3случай

   Числа 7 и 11

   Пояснение

   • взаимно простые, их НОД равен 1, а НОК равен 77
   • Это видно из того, что они не имеют общих делителей, кроме 1

• Число 1 — особое: у него только один делитель, и оно не является ни простым, ни составным.
• Древнегреческий математик Евклид описал алгоритм нахождения НОД ещё более 2000 лет назад, и он до сих пор используется в компьютерах.
• НОК используется в музыке: чтобы понять, через сколько тактов два разных ритма совпадут, нужно найти НОК их длительностей.

• Простые и составные числа
• Разложение числа на простые множители
• Признаки делимости
• Сокращение дробей
• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями