Повторение основных понятий и методов курсов 5 и 6 классов, обобщение и систематизация знаний

Научиться обобщать и систематизировать знания по основным разделам курса, видеть связи между темами и уверенно использовать изученные правила и формулы.

В жизни и науке важно уметь структурировать информацию: находить общее в разных ситуациях, применять подходящий метод решения. Повторение помогает закрепить фундамент, без которого невозможно двигаться дальше — например, к уравнениям, функциям и доказательствам в старших классах.

• Все числа, которые мы изучали, — натуральные, целые, дробные — называются рациональными числами; их можно записать в виде дроби p/q, где p — целое, q — натуральное.
• Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются по одним и тем же правилам для всех рациональных чисел, но с учётом знаков.
• Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно составляет от другого.
• Пропорция — это равенство двух отношений; её основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних.
• Процент — это сотая часть числа; чтобы найти процент от числа, нужно умножить число на дробь, соответствующую проценту.
• Координатная прямая позволяет изобразить числа точками и сравнивать их: большее число расположено правее.
• Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное; решить уравнение — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство верно.
• Геометрические фигуры (треугольник, прямоугольник, окружность) имеют свойства, которые можно использовать для вычисления периметра, площади и объёма.

Натуральные числа

Числа, которые используют при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, ... (иногда включают и 0).

Обыкновенная дробь

Число, записанное как a/b, где a — числитель, b — знаменатель (b не равно 0); показывает, сколько частей целого взято.

Десятичная дробь

Дробь, записанная с запятой, например 3,14; это другая форма записи обыкновенной дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д.

Рациональные числа

Все числа, которые можно представить в виде дроби p/q, где p — целое, q — натуральное; это положительные и отрицательные числа, ноль, обыкновенные и десятичные дроби.

Отношение

Частное двух чисел, показывающее, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно составляет от другого.

Пропорция

Равенство двух отношений, например a:b = c:d; здесь a и d — крайние члены, b и c — средние.

Процент

Одна сотая часть числа; обозначается знаком %.

Координатная прямая

Прямая, на которой выбраны начало отсчёта (0), единичный отрезок и направление; каждая точка соответствует числу.

• Основное свойство пропорции: a:b = c:d ⟹ a·d = b·c (произведение крайних членов равно произведению средних).
• Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на дробь: например, 25% от 200 = 200 · 0,25 = 50.
• Среднее арифметическое нескольких чисел равно сумме этих чисел, делённой на их количество.
• Правило сложения отрицательных чисел: чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить знак «минус».
• Правило умножения чисел с разными знаками: произведение отрицательно, с одинаковыми знаками — положительно.
• Периметр прямоугольника: P = 2·(a + b), площадь прямоугольника: S = a·b.
• Длина окружности: C = 2πr, площадь круга: S = πr², где r — радиус, π ≈ 3,14.
• Объём прямоугольного параллелепипеда: V = a·b·c, где a, b, c — его измерения.

1. Пример 1расчёт

   Если в классе 30 учеников и 12 из них

   Решение

   • девочки, то отношение числа девочек к числу мальчиков равно 12:18 = 2:3, то есть на каждые две девочки приходится три мальчика
2. Пример 2случай
   • В магазине скидка 20% на товар стоимостью 500 рублей: скидка составит 500 · 0,2 = 100 рублей, значит, товар будет стоить 400 рублей
3. Пример 3расчёт
   • Чтобы найти средний рост пяти друзей (150, 155, 160, 165, 170 см)
   • складываем все значения и делим на 5: (150+155+160+165+170)/5 = 160 см
4. Пример 4расчёт

   Температура воздуха может быть отрицательной

   Решение

   • например, −5°C означает, что на 5 градусов ниже нуля
   • сложение температур: −5 + (−3) = −8°C
5. Пример 5расчёт

   При строительстве дома используют пропорции

   Решение

   • если на 3 части цемента берут 5 частей песка, то для 6 частей цемента нужно 10 частей песка (пропорция 3:5 = 6:10)

• Слово «процент» происходит от латинского «pro centum» — «на сто». Проценты использовали ещё в Древнем Риме, но обозначение % появилось только в XVII веке.
• Число π (пи) — это отношение длины окружности к её диаметру; оно одинаково для любой окружности на плоскости, но его десятичная запись бесконечна и непериодична.
• Понятие отрицательных чисел ввёл индийский математик Брахмагупта в VII веке, а в Европе их долго называли «абсурдными» и не признавали.
• Координатную прямую придумал французский математик Рене Декарт в XVII веке; она стала основой для создания графиков и аналитической геометрии.

• Делимость чисел
• Обыкновенные дроби
• Отношения и пропорции
• Рациональные числа и действия с ними
• Геометрические фигуры и их свойства