Деление в данном отношении

Научиться делить число или величину в заданном отношении, понимать смысл отношения и применять алгоритм.

В жизни мы постоянно сталкиваемся с делением в отношении: при приготовлении смесей (например, цемента и песка), распределении прибыли между партнёрами, делении наследства, расчёте пропорций в кулинарии и даже в музыке (деление такта). Понимание этой темы развивает чувство пропорции и умение анализировать соотношения.

• Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого.
• Деление числа в отношении a : b означает, что число разбивается на две части, пропорциональные числам a и b.
• Чтобы разделить число N в отношении a : b, нужно сначала найти сумму частей (a + b), затем вычислить, сколько приходится на одну часть (N / (a + b)), и умножить на каждое из чисел отношения.
• Для отношения трёх чисел a : b : c алгоритм аналогичен: сумма a + b + c, затем N / (a + b + c) — это размер одной части, и далее умножение на a, b, c.
• Отношение можно упрощать, деля все части на общий делитель, но при делении числа в отношении важно использовать исходное (или упрощённое) отношение, так как результат будет одинаковым.
• Сумма полученных частей всегда равна исходному числу N — это проверка правильности решения.
• Отношение не зависит от единиц измерения, если они одинаковы для всех частей.

Отношение двух чисел

Частное двух чисел, показывающее, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно составляет от другого. Записывается как a : b или дробью a/b.

Деление в данном отношении

Разбиение числа или величины на части, пропорциональные заданным числам (отношению). Например, разделить 20 в отношении 2 : 3 — значит получить части 8 и 12.

Коэффициент пропорциональности

Число, которое получается при делении исходного числа на сумму частей отношения. Показывает, сколько единиц исходной величины приходится на одну часть отношения.

Пропорциональные части

Части, которые находятся в том же отношении, что и заданные числа. Если отношение a : b, то части равны k·a и k·b, где k — коэффициент пропорциональности.

Сумма частей отношения

Результат сложения всех чисел, входящих в отношение. Например, для отношения 2 : 3 сумма равна 5. Эта сумма используется для нахождения коэффициента.

• Чтобы разделить число N в отношении a : b, нужно: 1) найти сумму a + b; 2) вычислить N / (a + b) — это размер одной части; 3) умножить этот размер на a и на b.
• Для отношения трёх чисел a : b : c: сумма a + b + c, затем N / (a + b + c) — размер одной части, далее части равны (N/(a+b+c))·a, (N/(a+b+c))·b, (N/(a+b+c))·c.
• Отношение можно сокращать: если a и b имеют общий делитель, то отношение a : b эквивалентно (a/d) : (b/d). Результат деления числа в отношении не изменится.
• Сумма полученных частей всегда равна исходному числу: (k·a) + (k·b) = k·(a+b) = N, так как k = N/(a+b).
• Отношение может быть выражено дробью, и деление в отношении — это то же самое, что деление пропорционально дробям.

1. Пример 1расчёт
   • Разделить 20 конфет между двумя друзьями в отношении 2 : 3. Сумма частей = 5
   • одна часть = 20/5 = 4. Первый получит 2·4 = 8 конфет
   • второй — 3·4 = 12 конфет. Проверка: 8 + 12 = 20
2. Пример 2расчёт
   • Для приготовления бетонной смеси нужно взять цемент, песок и щебень в отношении 1 : 2 : 4. Если всего нужно 140 кг смеси
   • то сумма частей = 1+2+4=7
   • одна часть = 140/7=20 кг. Цемента — 20 кг, песка — 40 кг, щебня — 80 кг
3. Пример 3расчёт
   • В классе 30 учеников
   • отношение мальчиков к девочкам 2 : 3. Сумма частей = 5
   • одна часть = 30/5=6. Мальчиков — 12, девочек — 18
4. Пример 4расчёт
   • При разделе наследства между тремя наследниками в отношении 1 : 2 : 3, если общая сумма 600 000 рублей
   • то одна часть = 100 000, наследники получат 100 000, 200 000 и 300 000 рублей

• В Древнем Египте при строительстве пирамид использовали отношения для смешивания строительных растворов, например, отношение извести и песка.
• В музыке деление такта на доли (например, 2/4, 3/4) — это тоже деление в отношении, где целая длительность делится на части.
• В кулинарии рецепты часто используют отношения, например, для теста: 3 части муки и 2 части воды — это деление в отношении 3:2.

• Отношения и пропорции
• Пропорциональные зависимости
• Деление числа в данном отношении (урок 55)
• Решение задач на пропорции
• Масштаб