Масштаб, пропорция

Научиться понимать, что такое пропорция и масштаб, и как с их помощью сравнивать величины и передавать реальные размеры на бумаге.

Масштаб используется в географии (карты), архитектуре (чертежи зданий), моделировании (макеты), дизайне и даже в фотографии. Пропорции помогают в кулинарии (рецепты), строительстве (смеси), медицине (дозировки) и в повседневных расчётах, например, при увеличении или уменьшении количества ингредиентов.

• Пропорция — это равенство двух отношений, например, 2:3 = 4:6.
• В пропорции a:b = c:d числа a и d называются крайними членами, а b и c — средними.
• Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних (a·d = b·c).
• Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на карте (плане, чертеже) меньше или больше реального расстояния.
• Масштаб записывается как отношение, например, 1:1000, где 1 см на карте соответствует 1000 см (10 м) на местности.
• Если масштаб меньше 1 (например, 1:100), то это уменьшение; если больше 1 (например, 2:1), то это увеличение.
• Масштаб позволяет пересчитывать реальные размеры в размеры на чертеже и наоборот.

Отношение двух чисел

Частное от деления одного числа на другое, показывающее, во сколько раз первое число больше второго или какую часть оно составляет.

Пропорция

Равенство двух отношений, например, 3:6 = 1:2.

Крайние члены пропорции

Первый и последний члены пропорции (в записи a:b = c:d это a и d).

Средние члены пропорции

Второй и третий члены пропорции (в записи a:b = c:d это b и c).

Масштаб

Отношение длины отрезка на карте, плане или чертеже к длине соответствующего отрезка в реальности.

Численный масштаб

Масштаб, записанный в виде дроби, например, 1:5000, где числитель — единица, а знаменатель — во сколько раз уменьшены размеры.

Именованный масштаб

Масштаб, выраженный словами, например, «в 1 см — 50 м», что удобно для понимания.

• Основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Например, в пропорции 2:3 = 4:6, 2·6 = 3·4 = 12.
• Если произведение крайних членов не равно произведению средних, то пропорция неверна.
• Масштаб 1:1000 означает, что 1 см на плане соответствует 1000 см (или 10 м) в реальности.
• Для перевода масштаба в именованный нужно разделить знаменатель на 100 (если речь о сантиметрах и метрах): 1:5000 → в 1 см — 50 м.
• Масштаб может быть уменьшающим (1:100, 1:1000) или увеличивающим (2:1, 10:1), например, для чертежей мелких деталей.
• При решении задач на масштаб удобно составлять пропорцию: длина на карте / реальная длина = 1 / знаменатель масштаба.

1. Пример 1расчёт
   • Если на карте масштаба 1:100 000 расстояние между городами равно 3 см
   • то в реальности это 3·100 000 = 300 000 см = 3 км
2. Пример 2расчёт

   В кулинарии

   Решение

   • если рецепт на 4 порции требует 200 г муки, то для 6 порций пропорция 4:200 = 6:x даёт x = 300 г
3. Пример 3случай
   • При черчении детали длиной 5 мм в масштабе 10:1 на чертеже она будет изображена отрезком 50 мм (5 см)
4. Пример 4расчёт
   • На плане квартиры масштаб 1:50 означает
   • что стена длиной 4 м (400 см) на плане будет иметь длину 400:50 = 8 см

• Самые подробные карты имеют масштаб 1:5000, а карты мира — 1:100 000 000, то есть в 1 см — 1000 км.
• В древности люди использовали «масштаб» без чисел: на планах городов рисовали расстояния в шагах или локтях, но это было неточно.
• В биологии масштаб используют для изображения микроорганизмов: например, масштаб 1000:1 позволяет увидеть клетку на рисунке.
• Знаменитая карта мира Герарда Меркатора (XVI век) была создана с помощью пропорций, чтобы сохранить формы материков, хотя размеры искажались.

• Отношения и пропорции
• Прямая и обратная пропорциональность
• Решение уравнений с помощью пропорций
• Дроби и проценты
• Геометрические фигуры и измерения