Решение текстовых задач, содержащих дроби и проценты

Научиться понимать структуру текстовой задачи и переводить её условие на математический язык, используя дроби и проценты для нахождения части числа или числа по его части.

Умение решать такие задачи — это навык финансовой грамотности: посчитать скидку в магазине, понять, сколько процентов заряда осталось на телефоне, или разделить пиццу между друзьями. Это база для алгебры и физики, где все задачи — текстовые.

• Любая текстовая задача описывает реальную ситуацию, в которой есть известные и неизвестные величины, связанные арифметическими действиями.
• Процент — это просто удобная запись дроби со знаменателем 100: 1% = 1/100 = 0,01.
• Чтобы найти часть от числа, нужно умножить число на эту дробь (или проценты перевести в дробь и умножить).
• Чтобы найти число по его части, нужно разделить известную часть на соответствующую ей дробь (или разделить на проценты и умножить на 100).
• Слова «от», «это», «составляет» в условии часто указывают на действие умножения или на равенство части и числа.
• Решение задачи — это не просто вычисления, а цепочка логических шагов: понять, что дано, что найти, и как они связаны.
• Проверка ответа: подставь найденное число в условие задачи — должно получиться верное равенство.

Текстовая задача

Это описание некоторой ситуации словами, в котором есть числовые данные и вопрос, на который нужно ответить с помощью вычислений.

Целое

Это вся величина, о которой идёт речь в задаче (например, весь путь, вся сумма денег, весь класс). В задачах с процентами целое всегда принимается за 100%.

Часть от целого

Это результат деления целого на равные доли. Часть можно выразить обыкновенной дробью (например, 3/4) или десятичной (0,75) или процентами (75%).

Процент

Это одна сотая часть целого. Знак «%» заменяет запись «/100». Например, 5% — это 5/100 или 0,05.

Краткая запись условия

Это способ записать задачу коротко, с помощью чисел, букв и стрелок, чтобы сразу увидеть, что известно и что нужно найти.

• Правило 1: Чтобы найти процент от числа, нужно проценты перевести в дробь и умножить число на эту дробь. Пример: найти 15% от 200 = 200 * 0,15 = 30.
• Правило 2: Чтобы найти число по его проценту, нужно известное число разделить на проценты (переведённые в дробь). Пример: 30 — это 15% от X, значит X = 30 / 0,15 = 200.
• Если в задаче сказано «часть пути», «часть денег», это значит, что целое (весь путь, все деньги) умножается на эту дробь.
• Если сказано «осталось», то сначала нужно вычесть найденную часть из целого (или найти дополнение до 100%). Например, если потратили 40%, то осталось 60%.
• В задачах на дроби и проценты важно определить, что принимается за целое (за 100%). Часто это то, что стоит после слов «от», «всего», «составляет».

1. Пример 1случай
   • В магазине скидка 20% на товар, который стоил 500 рублей
   • Чтобы узнать новую цену, находим 20% от 500 (это 100 рублей) и вычитаем из 500
   • Получаем 400 рублей
2. Пример 2случай

   В классе 30 учеников, 1/3 из них

   Пояснение

   • отличники. Чтобы узнать, сколько отличников, умножаем 30 на 1/3, получаем 10 человек
3. Пример 3случай
   • Турист прошёл 12 км, что составляет 2/3 всего маршрута
   • Чтобы найти длину всего маршрута, делим 12 на 2/3, получаем 18 км
4. Пример 4случай
   • В банке вклад увеличился на 10% и стал равен 1100 рублей
   • Значит, первоначальный вклад был 1100 / 1,10 = 1000 рублей

• Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что означает «на сто». Первоначально проценты использовались в Древнем Риме для расчёта налогов и долгов.
• Знак «%» появился в XVII веке из-за опечатки: наборщик текста перепутал сокращение «cto» (cento) и напечатал «%».
• В природе проценты встречаются повсюду: жирность молока (3,2%), влажность воздуха (70%), содержание соли в морской воде (около 3,5%).

• Умножение и деление обыкновенных дробей
• Понятие процента
• Отношения и пропорции
• Решение уравнений