Контрольная работа по теме "Дроби"

Научиться видеть дробь как единый объект, с которым можно выполнять все изученные операции, и понимать, какое правило применить в каждом случае.

Дроби — это язык долей и частей. Мы постоянно делим пиццу, считаем скидки в процентах (а это тоже дроби), измеряем расстояния и время. Умение свободно оперировать дробями — это базовая математическая грамотность, без которой невозможно двигаться дальше: ни в алгебре, ни в геометрии, ни в повседневных расчётах.

• Дробь — это запись деления, где числитель — делимое, а знаменатель — делитель.
• Дробь не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число (основное свойство дроби).
• Правильная дробь всегда меньше единицы, неправильная — больше или равна единице.
• Смешанное число — это сумма целой части и правильной дроби (знак «+» между ними опускают).
• Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю.
• Сложение и вычитание дробей возможно только при одинаковых знаменателях.
• Умножение дробей выполняется напрямую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
• Деление на дробь заменяется умножением на дробь, обратную делителю.

Обыкновенная дробь

Число, записанное в виде a/b, где a — числитель (сколько частей взяли), b — знаменатель (на сколько всего частей разделили целое).

Правильная дробь

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Она всегда меньше 1.

Неправильная дробь

Дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Она больше или равна 1.

Смешанное число

Число, которое содержит целую часть и правильную дробь, например, 2 3/5 (это 2 + 3/5).

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, чтобы получить равную дробь с меньшими числами.

Общий знаменатель

Число, которое делится на знаменатели всех сравниваемых или складываемых дробей. Обычно это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

Обратная дробь

Дробь, полученная перестановкой числителя и знаменателя местами. Произведение дроби и обратной ей дроби равно 1.

• Основное свойство дроби: a/b = (a·k)/(b·k) = (a÷d)/(b÷d). Это позволяет сокращать дроби и приводить их к новому знаменателю.
• Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, сначала приведи их к общему знаменателю, а затем сложи (вычти) числители, знаменатель оставь без изменений.
• Чтобы умножить дробь на дробь, перемножь числители и знаменатели: (a/b) · (c/d) = (a·c)/(b·d).
• Чтобы разделить дробь на дробь, умножь первую дробь на дробь, обратную второй: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) · (d/c).
• Чтобы найти часть от числа, нужно умножить число на эту дробь. Например, 3/4 от 20 = 20 · (3/4) = 15.
• Любое целое число можно представить как дробь со знаменателем 1 (например, 5 = 5/1), что позволяет выполнять с ним действия как с дробями.

1. Пример 1случай
   • Пиццу разрезали на 8 равных кусков
   • Если съели 3 куска, то съели 3/8 пиццы
   • Здесь 8 — знаменатель (всего частей), 3 — числитель (сколько взяли)
2. Пример 2расчёт

   В классе 30 учеников, и 2/5 из них

   Решение

   • девочки. Чтобы узнать, сколько девочек, умножаем 30 на 2/5: 30 · 2/5 = 12. Значит, девочек 12
3. Пример 3расчёт

   Скидка в магазине 25%

   Решение

   • то же самое, что 1/4 цены. Если товар стоит 800 рублей
   • скидка составит 800 · 1/4 = 200 рублей
4. Пример 4случай

   Полтора часа

   Пояснение

   • это смешанное число 1 1/2 часа
   • Это удобнее, чем говорить «90 минут», когда мы планируем время

• Дроби появились тысячи лет назад: древние египтяне использовали только дроби с числителем 1 (например, 1/2, 1/7), а все остальные записывали как сумму таких долей.
• Черта дроби, которую мы используем сегодня, стала общепринятой только в XVI веке благодаря арабским математикам и Леонардо Фибоначчи.
• Слово «дробь» в русском языке происходит от глагола «дробить», то есть разламывать, делить на части.

• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
• Умножение и деление обыкновенных дробей
• Отношения и пропорции
• Десятичные дроби