Осевая симметрия. Центральная симметрия

Научиться понимать, что такое осевая и центральная симметрия, и уметь строить симметричные фигуры.

Симметрия повсюду: в природе (бабочки, снежинки), в архитектуре (здания, мосты), в искусстве и технике. Понимание симметрии помогает анализировать формы, создавать гармоничные объекты и решать практические задачи (например, при раскрое ткани или проектировании деталей).

• Осевая симметрия — это отображение плоскости на себя, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой (оси).
• Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части.
• Центральная симметрия — это отображение плоскости на себя, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную относительно данной точки (центра).
• При осевой симметрии фигура переходит в равную фигуру, но её «зеркальное отражение» может быть повёрнуто.
• При центральной симметрии фигура переходит в равную фигуру, но все точки поворачиваются на 180° относительно центра.
• Если фигура переходит сама в себя при осевой симметрии, то она имеет ось симметрии; если при центральной — то центр симметрии.
• Симметричные точки относительно оси лежат на перпендикуляре к оси и на одинаковом расстоянии от неё.
• Симметричные точки относительно центра лежат на одной прямой с центром и на одинаковом расстоянии от него.

Осевая симметрия

Преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную ей относительно заданной прямой (оси).

Ось симметрии

Прямая, относительно которой фигура отображается сама на себя (или на равную фигуру).

Центральная симметрия

Преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную ей относительно заданной точки (центра).

Центр симметрии

Точка, относительно которой фигура отображается сама на себя (или на равную фигуру).

Симметричные точки

Две точки, которые переходят друг в друга при симметрии (относительно оси или центра).

• При осевой симметрии расстояние от точки до оси равно расстоянию от её образа до оси, и отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен оси.
• При центральной симметрии центр является серединой отрезка, соединяющего симметричные точки.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния и углы, поэтому фигура переходит в равную фигуру.
• Центральная симметрия также сохраняет расстояния и углы, но меняет ориентацию фигуры (поворот на 180°).
• Фигура может иметь несколько осей симметрии (например, квадрат — 4 оси, круг — бесконечно много).
• Фигура может иметь центр симметрии (например, круг, квадрат, прямоугольник, ромб).
• Если фигура имеет центр симметрии, то для каждой её точки есть симметричная точка, принадлежащая этой же фигуре.

1. Пример 1случай

   Бабочка

   Пояснение

   • если сложить её крылья вдоль линии тела, они совпадут — это осевая симметрия
2. Пример 2случай

   Колесо автомобиля

   Пояснение

   • имеет центр симметрии — точку, вокруг которой все спицы расположены одинаково
3. Пример 3случай

   Лист клёна

   Пояснение

   • обладает осевой симметрией относительно центральной жилки
4. Пример 4случай

   Зеркало

   Пояснение

   • отражает предметы, создавая осевую симметрию относительно плоскости зеркала (в 2D — относительно линии)
5. Пример 5случай

   Шахматная доска

   Пояснение

   • имеет центр симметрии — точку пересечения диагоналей, при повороте на 180° она совпадает с собой

• Снежинки обладают осевой симметрией шестого порядка — у них 6 осей симметрии.
• В архитектуре многих древних храмов и дворцов использована осевая симметрия для создания гармонии и величия.
• Человеческое тело в целом симметрично относительно вертикальной оси, но внутренние органы (сердце, печень) расположены несимметрично.
• Центральная симметрия используется в орнаментах и паркетах, создавая повторяющиеся узоры.

• Прямоугольная система координат
• Координаты точек на плоскости
• Параллельный перенос
• Поворот
• Равенство фигур