Построение симметричных фигур

Научиться строить точку, отрезок, треугольник и другие фигуры, симметричные данным, относительно точки и прямой.

Симметрия повсюду: в архитектуре, природе, искусстве и технике. Понимание симметрии помогает создавать гармоничные объекты, решать задачи на построение и развивает пространственное мышление.

• Симметрия — это свойство фигуры совпадать с собой при某些 преобразованиях (отражении или повороте).
• Осевая симметрия — это отражение относительно прямой (оси), при котором каждая точка фигуры переходит в точку, лежащую на перпендикуляре к оси на том же расстоянии от неё.
• Центральная симметрия — это отражение относительно точки (центра), при котором каждая точка фигуры переходит в точку, лежащую на прямой, проходящей через центр, на том же расстоянии от него.
• Чтобы построить точку, симметричную данной относительно прямой, нужно провести перпендикуляр из точки к оси и отложить на нём такое же расстояние по другую сторону оси.
• Чтобы построить точку, симметричную данной относительно центра, нужно соединить точку с центром и отложить на продолжении отрезка такое же расстояние.
• Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой её точки симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.
• Фигура называется симметричной относительно точки, если для каждой её точки симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Симметрия

Соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-либо по противоположным сторонам от точки или прямой.

Осевая симметрия

Преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную ей относительно некоторой прямой (оси симметрии).

Центральная симметрия

Преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную ей относительно некоторой точки (центра симметрии).

Ось симметрии

Прямая, относительно которой фигура симметрична сама себе (при отражении фигура переходит в себя).

Центр симметрии

Точка, относительно которой фигура симметрична сама себе (при повороте на 180° фигура переходит в себя).

Симметричные точки

Две точки, которые переходят друг в друга при осевой или центральной симметрии.

• При осевой симметрии расстояние от точки до оси симметрии равно расстоянию от оси до симметричной точки, и отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен оси.
• При центральной симметрии расстояние от точки до центра симметрии равно расстоянию от центра до симметричной точки, и эти точки лежат на одной прямой с центром.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния между точками: если две точки симметричны, то расстояние между их образами равно расстоянию между исходными точками.
• Центральная симметрия также сохраняет расстояния, но меняет направление (ориентацию) фигуры.
• Чтобы построить симметричную фигуру, достаточно построить симметричные точки для всех вершин (или характерных точек) и соединить их в том же порядке.
• Ось симметрии может проходить через фигуру (например, у равнобедренного треугольника) или быть вне её (например, при отражении относительно прямой).
• Центр симметрии может лежать внутри фигуры (например, у квадрата) или вне её (например, при отражении точки относительно другой точки).

1. Пример 1случай
   • Если взять точку A и прямую l, то точка A1, симметричная A относительно l, будет находиться на перпендикуляре к l, проведённом из A, на таком же расстоянии от l, но по другую сторону
2. Пример 2расчёт
   • Если взять точку B и центр O, то точка B1, симметричная B относительно O, будет лежать на прямой BO
   • на расстоянии OB1 = OB, но в противоположном направлении
3. Пример 3случай
   • Отрезок, симметричный данному относительно прямой, будет иметь ту же длину и будет параллелен исходному, если исходный отрезок не пересекает ось
4. Пример 4случай
   • Треугольник, симметричный данному относительно точки, будет равен исходному, но его вершины будут расположены в противоположном порядке (ориентация изменится)
5. Пример 5случай

   В природе

   Пояснение

   • лист клёна симметричен относительно центральной жилки — это пример осевой симметрии

• Снежинки имеют шестилучевую симметрию, что связано с кристаллической решёткой льда.
• Бабочки и многие животные обладают двусторонней симметрией, что помогает им в движении и ориентации.
• В архитектуре симметрия использовалась ещё в древности: например, Парфенон в Афинах симметричен относительно центральной оси.
• Некоторые буквы русского алфавита (А, В, Д, М, Н, О, П, Т, Ф, Х, Ш) имеют осевую симметрию, а буквы Н, О, Х — ещё и центральную.

• Осевая и центральная симметрия (урок 71)
• Координатная плоскость (урок 73)
• Геометрические фигуры и их свойства (урок 70)