Буквенные выражения и числовые подстановки

Научиться понимать, что такое буквенное выражение, и находить его числовое значение при подстановке конкретных чисел.

Буквенные выражения — это первый шаг к алгебре. Они позволяют записывать общие правила и формулы, которые работают для любых чисел, а не только для одного конкретного случая. Это нужно в физике, экономике, программировании и даже в повседневной жизни, например, для расчёта стоимости покупки с неизвестным количеством товара.

• Буквенное выражение содержит числа, буквы и знаки действий; буквы обозначают неизвестные или изменяющиеся числа.
• Переменная — это буква, вместо которой можно подставлять разные числа.
• Чтобы найти значение буквенного выражения, нужно подставить вместо букв данные числа и выполнить вычисления.
• Одно и то же буквенное выражение может иметь разные значения при разных подстановках.
• Буквенные выражения используются для записи формул, например, периметра прямоугольника: P = 2(a + b).
• В буквенном выражении можно упрощать запись: например, 1 · a записывают как a, а a · b как ab.
• Число, стоящее перед буквой, называется коэффициентом; если коэффициент не записан, он равен 1.

Буквенное выражение

Математическая запись, в которой наряду с числами и знаками действий есть буквы, обозначающие числа.

Переменная

Буква, вместо которой можно подставлять разные числа.

Значение выражения

Число, которое получается после выполнения всех действий в выражении.

Числовая подстановка

Замена буквы конкретным числом для вычисления значения выражения.

Коэффициент

Числовой множитель перед буквой в произведении, например, в 5x коэффициент равен 5.

Формула

Буквенное выражение, которое описывает правило вычисления какой-либо величины.

• Если в выражении есть умножение числа на букву, знак умножения часто опускают: 3 · x = 3x.
• Если перед буквой не стоит число, коэффициент равен 1: a = 1 · a.
• При подстановке отрицательного числа в выражение его нужно заключать в скобки, чтобы не потерять знак.
• Порядок действий в буквенном выражении такой же, как в числовом: сначала скобки, потом умножение и деление, затем сложение и вычитание.
• Выражение может не иметь значения, если подстановка приводит к делению на ноль (например, в выражении 10 / x при x = 0).
• Буквенные выражения позволяют записывать свойства арифметики в общем виде: a + b = b + a (переместительное свойство сложения).

1. Пример 1расчёт

   Выражение 2a + 3

   Решение

   • если a = 4, то 2·4 + 3 = 11
   • если a = 1, то 2·1 + 3 = 5
2. Пример 2расчёт

   Формула стоимости покупки

   Решение

   • C = n · p, где n — количество товара, p — цена за штуку
   • Если n = 3, p = 50, то C = 150
3. Пример 3расчёт

   Периметр прямоугольника

   Решение

   • P = 2(a + b)
   • При a = 5 см, b = 3 см, P = 2·(5+3) = 16 см
4. Пример 4расчёт
   • В физике скорость v = S / t, где S — путь
   • t — время. Если S = 120 км
   • t = 2 ч
   • то v = 60 км/ч

• Буквы в математике начали использовать ещё в Древней Греции, но систематически ввёл их французский математик Франсуа Виет в XVI веке.
• С помощью буквенных выражений можно записать знаменитую формулу Эйнштейна E = mc², где каждая буква — переменная.
• В программировании буквенные выражения — это прообраз переменных: например, в коде x = 5, а потом x = 10 — значение меняется.

• Числовые выражения
• Уравнения
• Формулы периметра и площади
• Координатная плоскость