Математика · 6 класс · Математика ФГОС · урок 99 · только теория
Модуль числа, геометрическая интерпретация модуля
Модуль числа — это расстояние от начала отсчёта до точки на координатной прямой, поэтому он всегда неотрицателен. Геометрически модуль показывает, насколько далеко число находится от нуля, независимо от направления. Это понятие помогает сравнивать числа, решать уравнения и понимать, что такое абсолютная величина.
Чему учимся понимать
Научиться понимать модуль числа как расстояние и применять его для нахождения модуля любого числа и сравнения чисел.
Зачем это нужно
Модуль используется в жизни для измерения расстояний, отклонений, погрешностей (например, разница температур, ошибки измерений). В науке и технике модуль помогает работать с величинами, которые могут быть отрицательными, но важна только их величина.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Модуль числа — это расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей это число на координатной прямой.
- Модуль всегда неотрицателен: модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному числу, модуль нуля равен нулю.
- Модуль числа a обозначается |a|.
- Модули противоположных чисел равны: |−a| = |a|.
- Геометрически модуль показывает, на сколько единичных отрезков точка удалена от нуля.
- Модуль числа не может быть отрицательным, так как расстояние не бывает отрицательным.
Определения
- Модуль числа
- Расстояние от начала отсчёта до точки на координатной прямой, соответствующей этому числу. Обозначается |a|.
- Координатная прямая
- Прямая, на которой выбраны начало отсчёта (точка 0), единичный отрезок и положительное направление.
- Противоположные числа
- Два числа, которые отличаются только знаком, например 5 и −5. Они находятся на одинаковом расстоянии от нуля.
- Абсолютная величина
- Другое название модуля числа, подчёркивающее, что берётся только величина без учёта знака.
Ключевые факты и правила
- |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0.
- Модуль положительного числа равен самому числу: |a| = a, если a > 0.
- Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: |a| = −a, если a < 0.
- Модуль нуля равен нулю: |0| = 0.
- Модуль числа не может быть отрицательным: |a| ≥ 0 для любого a.
- На координатной прямой расстояние между точками a и b равно |a − b|.
Теория
Вспомни, что такое координатная прямая: есть точка 0, положительные числа справа, отрицательные слева.
Пойми, что модуль — это расстояние от точки до нуля, а расстояние всегда положительное или ноль.
Запомни правило: для положительного числа модуль равен самому числу, для отрицательного — противоположному, для нуля — нулю.
Научись обозначать модуль вертикальными чёрточками: |a|.
Используй геометрический смысл: модуль показывает, сколько единичных отрезков нужно пройти от нуля до точки.
Примеры
- Пример 1случай
- Если термометр показывает −7°C, то модуль числа −7 равен 7, что означает, что мороз в 7 градусов — это то же расстояние от нуля, что и тепло в 7 градусов
- Пример 2расчёт
- На координатной прямой точка с координатой −3 находится на расстоянии 3 единичных отрезков от нуля
- и точка с координатой 3 тоже на расстоянии 3. Поэтому |−3| = |3| = 3
- Пример 3случай
- Чтобы найти расстояние от дома до школы, если школа находится на 2 км в одну сторону, а магазин на 2 км в другую, мы используем модуль: расстояние до школы и до магазина одинаково — 2 км, независимо от направления
Интересно знать
- Слово «модуль» происходит от латинского «modulus», что означает «мера» или «маленькая мера».
- В Древней Индии отрицательные числа называли «долгами», а положительные — «имуществом», и модуль показывал величину долга или имущества без учёта знака.
- Модуль используется в физике для обозначения абсолютной температуры, например, модуль разности температур показывает, насколько одна температура отличается от другой, независимо от того, какая больше.
Связанные темы
- Координатная прямая
- Противоположные числа
- Сравнение чисел
- Рациональные числа
- Уравнения с модулем (в старших классах)