Математика · 7 класс · Математика ФГОС · урок 1 · только теория
Понятие рационального числа
Рациональные числа — это все числа, которые можно записать в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. Они включают целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, и являются основой для дальнейшего изучения алгебры и реальных вычислений.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, какие числа называются рациональными, и распознавать их среди других чисел.
Зачем это нужно
Рациональные числа окружают нас повсюду: в деньгах, измерениях, рецептах и даже в музыке. Понимание их структуры помогает точно вычислять, сравнивать и работать с дробями, что необходимо в повседневной жизни и в науке.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби a/b, где a — целое число, а b — натуральное число.
- Все целые числа являются рациональными, так как их можно записать со знаменателем 1.
- Любая десятичная дробь, которая заканчивается или повторяется, является рациональным числом.
- Смешанные числа можно перевести в неправильные дроби, и они тоже рациональные.
- Рациональные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме деления на ноль), и результат всегда будет рациональным.
- На числовой прямой рациональные числа расположены плотно: между любыми двумя рациональными числами есть еще одно рациональное число.
- Противоположные числа (например, 3 и -3) также являются рациональными.
Определения
- Рациональное число
- Число, которое можно записать в виде дроби a/b, где a — целое число, а b — натуральное число (b ≠ 0).
- Дробь
- Запись числа в виде a/b, где a — числитель, b — знаменатель, и b не равен нулю.
- Числитель
- Число над чертой дроби, показывающее, сколько частей взято.
- Знаменатель
- Число под чертой дроби, показывающее, на сколько равных частей разделено целое.
- Целые числа
- Все натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
- Смешанное число
- Число, состоящее из целой части и дробной части, например, 2 1/3.
Ключевые факты и правила
- Любое целое число n можно записать как дробь n/1, поэтому оно рациональное.
- Конечная десятичная дробь, например 0,5, — это рациональное число, потому что 0,5 = 1/2.
- Бесконечная периодическая десятичная дробь, например 0,333... = 1/3, тоже рациональна.
- Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на ноль) двух рациональных чисел — рациональное число.
- Ноль — рациональное число, так как 0 = 0/1.
- Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными (например, √2, π).
Теория
Вспомни, что такое целые числа: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Пойми, что дробь — это способ записать часть целого, например, 1/2 — половина.
Узнай, что любое число, которое можно записать как дробь с целым числителем и натуральным знаменателем, называется рациональным.
Заметь, что целые числа и десятичные дроби — это частные случаи рациональных чисел.
Проверь, что при выполнении арифметических действий с рациональными числами результат остается рациональным.
Примеры
- Пример 1случай
Число 7
Пояснение
- рациональное, потому что его можно записать как 7/1
- Пример 2случай
Дробь 3/4
Пояснение
- рациональное число, она означает три части из четырех, например, 3/4 пиццы
- Пример 3расчёт
Десятичная дробь 2,75
Решение
- рациональная, так как 2,75 = 11/4
- Пример 4расчёт
Смешанное число 1 1/2
Решение
- рациональное, потому что 1 1/2 = 3/2
- Пример 5расчёт
В рецепте
Решение
- если нужно 0,5 кг муки, это рациональное число, потому что 0,5 = 1/2
Интересно знать
- Древние греки обнаружили, что √2 нельзя выразить дробью, и это их потрясло — они считали, что числа должны быть только рациональными.
- В музыке октава делится на 12 полутонов, и соотношения частот нот — это рациональные числа, например, 3/2 для квинты.
- Слово «рациональный» происходит от латинского ratio — «отношение», потому что такие числа выражают отношение двух целых.
Связанные темы
- Сравнение рациональных чисел
- Арифметические действия с рациональными числами
- Иррациональные числа
- Модуль числа