Арифметические действия с рациональными числами

Научиться правильно и быстро складывать, вычитать, умножать и делить рациональные числа, включая отрицательные и дробные.

Рациональные числа окружают нас повсюду: температура, долги, рецепты, скидки, измерения. Умение с ними работать — база для любой финансовой грамотности, естественных наук и программирования.

• Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде дроби p/q, где p — целое, q — натуральное.
• Любое целое число и любая конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь являются рациональными.
• Сложение чисел с одинаковыми знаками: складываем их модули и ставим общий знак.
• Сложение чисел с разными знаками: из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак числа с большим модулем.
• Вычитание рационального числа a — b можно заменить сложением a + (-b).
• Произведение и частное двух чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными — отрицательно.
• Деление на ноль невозможно; деление нуля на любое ненулевое число даёт ноль.

Рациональное число

Число, которое можно записать в виде дроби p/q, где p — целое, q — натуральное. Например, 3, -1/2, 0.75, 2.333... — все рациональные.

Противоположные числа

Два числа, которые отличаются только знаком. Например, 5 и -5. Их сумма всегда равна нулю.

Модуль числа

Расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Модуль всегда неотрицателен: |−7| = 7, |4| = 4.

Сложение чисел с одинаковыми знаками

Операция, при которой складываются модули чисел, а результату присваивается общий знак. Например, (−3) + (−5) = −8.

Сложение чисел с разными знаками

Операция, при которой из большего модуля вычитается меньший, а знак результата — знак числа с большим модулем. Например, 7 + (−4) = 3.

Умножение рациональных чисел

Действие, при котором перемножаются модули, а знак результата определяется по правилу: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.

Деление рациональных чисел

Действие, обратное умножению. Чтобы разделить одно число на другое, нужно умножить делимое на число, обратное делителю. Например, (−6) : 2 = −3.

• Любое целое число — рациональное, так как его можно записать как дробь со знаменателем 1 (например, 7 = 7/1).
• Правило знаков при умножении и делении: (+) · (+) = (+), (+) · (−) = (−), (−) · (+) = (−), (−) · (−) = (+). То же для деления.
• Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить знак «−».
• Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем.
• Вычитание можно заменить сложением с противоположным числом: a − b = a + (−b). Это упрощает вычисления с отрицательными числами.
• Деление на ноль невозможно — это запрещено в математике. Если попытаться разделить на ноль, результат не определён.
• Свойства сложения и умножения (переместительное, сочетательное, распределительное) работают для всех рациональных чисел, включая отрицательные и дробные.

1. Пример 1расчёт

   Температура

   Решение

   • утром было −5°C, днём потеплело на 8°C
   • Чтобы узнать новую температуру, складываем: −5 + 8 = 3°C
2. Пример 2расчёт

   Финансы: у вас на счету 1000 рублей, вы потратили 350 рублей

   Решение

   • можно записать как 1000 + (−350) = 650 рублей
3. Пример 3расчёт

   Скорость

   Решение

   • автомобиль едет на север со скоростью 60 км/ч, а ветер дует на юг со скоростью 15 км/ч
   • Если считать север положительным, то скорость относительно земли: 60 + (−15) = 45 км/ч
4. Пример 4расчёт

   Рецепт

   Решение

   • если нужно уменьшить количество ингредиента в 2 раза, а в рецепте было 3/4 стакана, то новое количество: 3/4 : 2 = 3/8 стакана

• Древние математики долго не признавали отрицательные числа, считая их «ложными» или «абсурдными». Впервые их стали широко использовать в Китае и Индии, а в Европу они пришли только в Средние века.
• Любая бесконечная периодическая десятичная дробь (например, 0.333... = 1/3) — рациональное число, а вот число π (3.14159...) — иррациональное, его нельзя представить в виде дроби.
• В некоторых языках программирования деление на ноль вызывает ошибку, а в математике это просто запрещено — поэтому важно всегда проверять знаменатель.

• Обыкновенные дроби
• Десятичные дроби
• Координатная прямая
• Сравнение рациональных чисел
• Уравнения с рациональными числами